32三角恒等变换的应用

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1、巨人教育辅导讲义学员编号(卡号人年级：第次课学员姓名：辅导科目：教师：课题3.2简单的三角恒等变换授课时间：备课时间：教学目标1.通过经历二倍角的变形公式推导岀半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式，休会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力.2.理解并掌握二倍介的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变换在数学中的应用.重点、难点1•半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.2.三角变换的内容、思路和方法，在少代数变

2、换相比较中，体会三角变换的特点.考点及考试要求半角公式、积化和差、和差化积公式的推导教学内容思路1/rI,ZI盛1+sinx-cosx例］化简:..1+sinx+cosx活动：此题考查公式的应用，利用倍角公式进行化简解题.教师提醒学生注意半角公式和倍介公式的区别，它们的功能各界，本质相同，具有对立统一的关系.2sin2—+2sin—cos—2sin—(sin—+cos—)解源划222二222=tan^2cos2—+2sin-cos—2cos—(cos—+sin—)?222222点评：本题是对基本知识的考查，重在让学

3、生理解倍角公式与半角公式的内在联系.变式训练化简:sin5()o(l+tan10°).1E!Ao2(—cos10Hsin10)解源式初50。1+如讪0=sin50°・22coslOcoslO3小.“csin303cos10c+cos30sinlO3=2sin50°coslO°sin40Jsin80cos10=2cos40°===1.cos10cos10cos10例2已知sinx-cosx=—，求sin3x-cos3x的值.2活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解•由于(a-b)3=a3-3a

4、2b+3ab2-b=a

5、nxcosx=—.48..sinx-cosx=(smx-cosx)(siiTx+smxcosx+cosx)=—(1+—)=—・2816点评：木题考杳的是公式的变形、化简、求值，注意公式的灵活运用和化简的方法.变式训练IJT3龙己知sigs忖且尹〒，则3的值是例1已知cos4Acos2Bsin4Asin2B=［求证:cos4Bsin4Bcos2Asin2A活动：此题町从多个角度进行探究，由于所给的条件等式与所耍证明的等式形式一致,只是将A,B的位置互换了，因此应从所给的条件等式入手，而条件等式中含有A,B角的正、余弦

6、，可利用平方关系來减少函数的种类.从结构上看，已知条件是a2+b2=l的形式，可利用三角代换.证明一:J=1,cos4Asin4A?1?cos-BsirrB/.cos4Asin2B+sin4Acos2B=sin2Bcos+B./.cos4A(1-cos2B)+sin4Acos2B=(1-cos2B)cos2B,即cos4A-cos2B(cos4A-sin4A)=cos2B-cos4B./.cos4A-2cos2Acos2B+cos4B=0./.(cos2A-cos2B)2=0.•:cos2A=cos2B./•sin

7、2A=sin2B.cos4B*sin4Bcos2Asin2A=cos2B+sin2B=l.2A・0▲r口口一人c°s_AsnrA证明一:令=COSQ,—:=sina,cosBsinfiI2c贝ljcos^A=cosBcosa,sin^A=sinBsina・两式相加，得l=cosBcosa+sinBsina,即cos(B-a)=l./.B-a=2k7t(kGZ),即B=2k7r+a(kGZ)./.cosa=cosB,sina=sinB・•e.cos2A=cosBcosa=cos2B,sin2A=sinBsina=si

8、n2B・cos4Bsin4Bcos4Bsin4B2・°••F—=F—=cosB+siiTB=l・cos~AsirrAcos~BsirrB点评:要善于从不同的角度来观察问题,本例从角与函数的种类两方而观察，利用平方关系进行了合理消元.变式训练在锐角三角形ABC中,ABC是它的三个内角，记S=—1-—+—J—，求证:S<1.1+tanA1+tanB1+tanA+