第5讲三角恒等变换.doc

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1、第5讲　三角恒等变换【2013年高考会这样考】1．考查利用和角公式、倍角公式和半角公式、积化和差与和差化积进行三角函数式的化简与求值．2．利用三角公式考查角的变换、角的范围．【复习指导】本讲复习应牢记和角公式及倍角公式和半角公式、积化和差与和差化积公式，准确把握公式的特征，活用公式；同时要掌握好三角恒等变换的技巧，如变换角的技巧、变换函数名称的技巧等．　　基础梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；(2)C(α＋β)：cos(α＋

2、β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；(3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；(4)S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝；(6)T(α－β)：tan(α－β)＝.2．倍角公式(1)S2α：sin2α＝2sin_αcos_α；(2)C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)T2α：tan2α＝.3．半角公式C：cos＝±　S：sin＝±T：

3、tan＝±4．和差化积与积化和差公式cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]；sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．5．有关公式的逆用、变形等(1

4、)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)；(2)cos2α＝，sin2α＝；(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝sin.6．函数f(α)＝acosα＋bsinα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝－；＝－.(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等．三个变化(

5、1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．双基自测1．(人教B版教材习题改编)下列各式的值为的是(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．2cos2－1B．1－2sin275°C.D．sin15°cos15°解析　

6、2cos2－1＝cos＝；1－2sin275°＝cos150°＝－；＝tan45°＝1；sin15°cos15°＝sin30°＝.答案　D2．(2011·福建)若tanα＝3，则的值等于(　　)．A．2B．3C．4D．6解析　＝＝2tana＝2×3＝6，故选D.答案　D3．已知sinα＝，则cos(π－2α)等于(　　)．A．－B．－C.D.解析　cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×－1＝－.答案　B4．(2011·辽宁)设sin＝，则sin2θ＝(　　)．A．－B．

7、－C.D.解析　sin2θ＝－cos＝2sin2－1＝2×2－1＝－.答案　A5．tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°＝________.解析　∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝，∴tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°)＝－tan20°·tan40°，∴原式＝－tan20°tan40°＋tan20°tan40°＝.答案　　　考向一　三角函数式的化简【例1】►化简.[审题视点]切化弦，合理使用倍角公式．解　原式＝＝＝＝cos2x.三角函数式的化简要遵循“三

8、看”原则：(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．【训练1】化简：.解　原式＝＝＝＝＝tan.考向二　三角函数式的求值【例2】►已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值．[审题视点]拆分角：＝－，利