【数学与应用数学专业】【毕业论文】几类可化为伯努利方程求解的一阶微分方程　

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1、（20__届）本科毕业论文几类可化为伯努利方程求解的一阶微分方程　摘要:本文在已有文献的基础上研究几类常微分方程的求解。通过寻求恰当的变量替换，在适当的条件下获得了这些方程可以转化为伯努利方程求解的方法，给出了其通解公式。同时结合一些具体的常微分方程的模型，将这些理论结果进行应用，丰富了常微分方程的求解方法。关键词:常微分方程;伯努利方程;变量替换Severalclassesoffirst-orderordinarydifferentialequationswhichcanbetransformedintoBern

2、oulliEquationsAbstract:Inthispaper,basedontheexistingliterature,weresearchthesolutionsofseveralclassesofordinarydifferentialequations.Byseekingsuitablevariablesubstitution,wetransformtheequationsintoBernoulliEquation,andobtaintheirgeneralsolutionformulas.Furth

3、ermore,wegivesomeconcreteordinarydifferentialequationmodelstoillustratetheeffectivenessofthetheoreticconclusionsinthispaper.Ourresultstoenrichthemethodsofsolvingordinarydifferentialequation. Keywords:ordinarydifferentialequation;BernoulliEquation;variablesubst

4、itution目录1引言12主要结果43应用举例10结束语19致谢20参考文献21191引言数学分析中所研究的函数，是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系，但在大量的实际问题中遇到稍微复杂的一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的关系往往不能直接写出来，却能比较容易地建立这些变量和它们的导数间的关系式，这个关系式就是常微分方程[1]。现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，例如：自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可化为

5、求常微分方程解的问题。这就使得研究微分方程的求解是具有实际意义的。对于Bernoulli(伯努利)方程的定义[2]如下：（其中，为的连续函数且）李鸿祥在《一阶常微分方程的求解》[3]一文中给出了一阶常微分方程的几种解法，其中就包括了伯努利方程的几种解法，而且对几种解法进行了分析、比较、概括。同时，徐士河也给出了黎卡提（Riccati）方程的定义[4]：(1)其中，，是的连续函数。江磊分析了几类简单的黎卡提（Riccati）方程化为伯努利方程的形式[5]，并给出了一定的结论和总结。能有初等解法的微分方程是很有限的，像

6、上文这种形式上很简单的黎卡提（Riccati）方程一般就没有初等解法，但是黎卡提(Riccati)方程在已知一特解的情况下可以转化为伯努利方程求解。在此思想的启发下，本文探求几类比黎卡提(Riccati)方程更广泛的一阶微分方程的求解方法。由于日常生活的实际问题往往可以归结为求解微分方程的数学问题，这就使得研究微分方程的求解成为研究微分方程的主要内容之一。对于具有广泛应用背景的伯努利方程的求解一直是人们十分关心的课题，有关该问题的求解已经有了许多研究成果[6～9]。本文的目的就是找出几类可化为伯努利方程求解的一阶微

7、分方程，结合用解伯努利方程的方法解出这些一阶微分方程。再把结果应用到日常实际生活当中去，如自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性等19领域。对此我们首先查阅了大量的文献，对许多数学工作者在这方面的研究成果进行了总结[10，11]：王玮通过研究和进一步的探讨，也给出了下列形式的伯努利方程[12](2)。(3)并获得了其通解公式。冯变英给出了用常数变易法来解伯努利方程[13]，并获得了几种解法。刘志伟研究了上面几位学者的关于伯努利方程的解法，经过自己的探索和总结，并

8、给出了几种关于这个方面的新解[14]胡劲松在《用“积分因子”求解Bernoulli方程》[15]一文中给出了伯努利方程求解的一些方法。同时，E．卡姆克也在《常微分方程手册》[16]中阐述了相同的观点，并得到了几种伯努利方程的新解法。总结上述文献我们得出有关伯努利方程求解结果列为下列命题：命题1.若，，则方程(4)可转化为伯努利方程，从而可解。命题2.若,,则