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1、（20__届）本科毕业论文几类常系数线性微分方程解法讨论摘要：因为微分方程在物理、经济、工程等领域中具有广泛的应用,所以本文重点讨论了几类常系数线性微分方程的解法.主要内容为几类常系数齐次线性微分方程解法的讨论和几类常系数非齐次线性微分方程解法的讨论.关键词：齐次线性微分方程；非齐次线性微分方程；通解.TheSolutionDiscussionaboutSeveralTypesofConstantCoefficientLinearDifferentialEquationsAbstract：Thedifferentialequationhasextensiveapplicationinthefi
2、eldsofphysical,economic,engineeringandsoon,sothisessaymainlydiscussesseveraltypesofconstantcoefficientlineardifferentialequationssolvingmethods.Itincludesthesolutiondiscussionaboutseveraltypesofconstantcoefficienthomogeneouslineardifferentialequationsandconstantcoefficientnon-homogeneouslineardiffer
3、entialequations.Keywords：Homogeneouslineardifferentialequation;Non-homogeneouslineardifferentialequation;Generalsolution.目录1引言12几类常系数线性齐次微分方程解的讨论12.1阶常系数线性齐次微分方程的解法12.2常系数线性齐次微分方程组的递推公式解法43几类常系数线性非齐次微分方程解的讨论63.1二阶常系数非齐次线性微分方程特解的求法63.1.1降阶法63.1.2升阶法73.2高阶常系数线性非齐次微分方程几种解法93.2.1常数变易法103.2.2比较系数法103.2.3
4、算子法113.2.4拉普拉斯变换法143.2.5叠加法163.3常系数非齐次线性微分方程组的微分算子法174结束语215致谢226参考文献231引言常微分方程在物理、经济、工程等领域中有很广泛的应用.如SirINewtont通过解微分方程证实了地球绕太阳的运动轨道是一个椭圆,从理论上得到了行星运动的规律.又如海王星的存在是天文学家ULeVerrier和JAdams先通过微分方程的求解推算,然后再经过实际观测发现的.这充分说明研究微分方程的解法具有重要的现实意义.随着科学技术的发展和社会的进步,常微分方程的应用范围在不断地扩大和深入,可以毫不夸张地说常微分方程在所有自然科学领域和众多社会科学领域
5、都有具体体现.如自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等问题都需要涉及到求解微分方程的问题.本文重点讨论了几类常系数线性微分方程的解法.主要内容为几类常系数齐次线性微分方程解法的讨论和几类常系数非齐次线性微分方程解法的讨论.2几类常系数线性齐次微分方程解的讨论在众多实际问题中,往往需要求解常系数线性齐次微分方程,如二阶的,三阶的,甚至更高阶的.那么是否有一种方法可以解这些不同阶的常系数线性齐次微分方程呢？下面我们讨论如何用特征根法求解阶常系数线性齐次微分方程.2.1阶常系数线性齐次微分方程的解法形如(2.1)的方程称为阶常系数线性齐次
6、微分方程,这里的为实常数.对于这类方程的求解,我们将采用特征根法先求出它的基本解组,从而得到它的通解.方程(2.1)的特征方程为(2.2)结论是方程(2.1)的解的充要条件是满足,即是特征根.下面根据特征根的不同情况分别进行讨论.a）特征根为单根的情况21设为特征方程(2.2)的个互不相等的实根,则相应的方程（2.1）有如下个解,这个解在区间上线性无关,从而组成方程的基本解组.方程（2.1）的通解可表示为：.如果特征方程(2.2)有复根,则因方程的系数都是实常数,所以复根将成对共轭出现.设中的是方程(2.2)的一对复特征根,则方程（2.1）有下面两个复值解,,它们对应两个线性无关的实值解为,.
7、此时方程（2.1）的通解可表示为.例1求微分方程的通解.解所给微分方程的特征方程为,即.其根是两个不相等的实根,因此所求通解为：,这里的为任意常数.例2求微分方程的通解.解所给方程的特征方程为.特征方程的根为,有两个实根和两个复根,均是单根.因此所求通解为：,这里的为任意常数.b)特征根有重根的情况设特征方程（2.2）的根为,它们的重数分别为,,,对应方程(2.1)恰有个线性无关的解,且构成了方程
