几类常系数线性微分方程解法讨论文献综述

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1、文献综述几类常系数线性微分方程解法讨论　　　一、前言部分微分方程是现代数学的一个重要分支，是人们解决各种实际问题的有效工具，它在几何、力学、物理、电子技术、等领域都有着广泛的应用。微分方程的首要问题是如何求一个给定方程的通解或特解。到目前为止，人们已经对许多微分方程得出了求解的一般方法。例如对于常系数线性微分方程，我们可以用很多种方法来求解它。有特征方程法、常数变易法、升阶法、降阶法、比较系数法等等。接下来，先介绍一些有关的概念：定义1：一般地，联系着自变量、未知函数及其导数的关系式，叫做微分方程.定义2：如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，则称这种微分方

2、程为常微分方程.例如，，就是常微分方程，这里是未知函数，是自变量。定义3：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶数.阶常微分方程一般具有形式（1.1）其中,是的已知函数，并且必含有。定义4：若是的一次有理整式，则称方程(0.1)为阶线性方程；不是线性方程的方程称为阶非线性方程。一般地，阶线性方程具有形式(1.2)其中，是的已知函数。定义5：设函数在区间内,且有已知的到阶的各阶导数,使得在内成立,则称函数为方程（1.1）的解.一般的,如果常微分方程的解中含有的独立的任意常数的个数与方程的阶数相等,则称这样的解为常微分方程的通解.满足初值条件

3、的解称为特解.定义6:常系数线性微分方程是线性微分方程中的一个概念。n阶线性微分方程（1.3）其中及都是区间上的连续函数。如果则方程（1.3）变成(1.4)我们称它为n阶齐次线性微分方程，简称齐次线性微分方程，而称一般的方程（1.3）为n阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程。定义7：设齐次线性微分方程中所有系数都是常数，即方程有如下形状（1.5）其中为常数。我们称（1.5）为n阶常系数齐次线性微分方程；若(1.6)其中为常数,而为连续函数。我们称（1.6）为n阶常系数非齐次线性微分方程。定义8：已知n阶常系数齐次线性微分方程，（1.7）我们把代入（1.

4、7）得因此,为方程的解的关系条件是:是代数方程（1.8）的根,方程称为方程（1.8）的特征方程,它的根为方程(1.7)的特征根。二、主题部分常微分方程是伴随着微积分的产生和发展而成长起来的一门历史悠久的学科。从诞生之日起很快就显示出这门课程不仅在数学科学领域起着重要的作用，而且在物理、经济、工程等领域也是它在应用上的重要作用。特别是作为Newton力学的得力助手，在天体力学和其它机械力学领域内显示了巨大的功能。SirINewtont通过解微分方程证实了地球绕太阳的运动轨道是一个椭圆，从理论上得到了行星运动的规律。海王星的存在是天文学家ULeVerrier和JA

5、dams先通过微分方程的方法推算出来，然后才实际观测到的，这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大能量。随着科学技术的发展和社会的进步，常微分方程的应用不断扩大和深入。时至今日，可以说常微分方程在所有自然科学领域和众多社会科学领域都有着广泛的应用，在数学学科内部的许多分支中，常微分方程是最常用的重要工具之一，也是整个数学课程体系中的重要组成部分，常微分方程每一步进展都离不开其他数学分支的支援如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。反过来，常微

6、分进一步发展的需要，也推动着其他数学分支的发展。现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。微分方程的首要问题是如何求一个给定方程的通解或特解。到目前为止，人们已经对许多微分方程得出了求解的一般方法。通过大量阅读相关的参考文献,发现许多作者重点研究了常数变易法

7、、比较系数法等。下面就对这些文献进行综述：王高雄、周之铭、朱思明在文献[1]中介绍了常微分方程的发展历史,基本概念、相关的一些理论依据、解的定义以及求解的方法。时宝和黄朝炎在文献[2]中介绍了微分方程的产生,用具体例子说明微分方程的建立过程；并介绍了微分方程的概念以及它的解等相关的概念；还介绍了线性微分方程的一般理论和常系数方程的解法,同时还举了一些简单的例子,以便于读者更好地理解。丁同仁、李承治在文献[3]中介绍了微分方程及其解的定义以及几何解释,并介绍了一些求解方法。周义仓,靳祯,秦军林在文献[4]中介绍了常微分方程及其应用。作者利用建模、应用和计算机等特

8、点形成理论、方法、建模、应用、计算机互