阶常系数线性微分方程的解法

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1、第三节二阶常系数线性微分方程的解法一、二阶常系数线性微分方程解的性质与通解的结构二阶常系数线性微分方程的标准形式其中a,b是常数.(1)(2)称为二阶常系数齐次线性微分方程。1二阶常系数齐次线性方程解的性质回顾一阶齐次线性方程1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解；2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；2二阶常系数齐次线性方程解的性质1、方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解；2、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；也是(2)的解.(称线性无关),则上式为(2)的通解.定理1(2)

2、3二、二阶常系数齐次线性方程的解法代数方程(3)称为微分方程(2)的特征方程,它的根称为特征根(或特征值).(3)(2)4故它们线性无关,因此(2)的通解为(3)情形15情形2需要求另一个特解6情形3可以证明,是(2)的解，且线性无关，所以方程(2)的通解为7小结特征根的情况通解的表达式实根实根复根8解特征方程为故所求通解为例1例2解特征方程为解得故所求通解为特征根为9解特征方程为故通解为例3特征根为10对应齐次方程三、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法(1)(2)1、方程(1)的任意一个解加上方程(2)

3、的任意一个解是(1)的解；2、方程(1)的任意两个解之差是(2)的解.定理2那么方程(1)的通解为11问题归结为求方程(1)的一个特解.只讨论f(x)的两种类型.用待定系数法求解.对应齐次方程三、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法(1)(2)那么方程(1)的通解为定理212则13情形1若r不是特征根,即情形2若r是特征方程的单根,即14情形3若r是特征方程的二重根,即15综上讨论设特解为其中16解对应齐次方程通解特征方程特征根例4代入原方程,得17解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程，原方程通解为例5

4、得18解对应齐次方程通解特征方程特征根例6代入方程,得19解对应齐次方程通解特征方程特征根例6注意：现即即得这样比代入原方程要简便得多。20解例7对应齐次方程通解特征方程特征根21此时原方程的通解为22可以证明,方程(1)具有如下形式的特解:23解例8所求通解为对应齐次方程通解特征方程特征根代入原方程,得24解例9所求通解为对应齐次方程通解特征方程特征根代入原方程,得25定理3(非齐次线性方程的叠加原理)和的特解,的一个特解,26例10解代入得27解代入得原方程通解为例1028解例11是对应齐次方程的通解,但没

5、有原方程的特解,故(B)也不对；二阶非齐次线性微分方程2930解例12求导，原方程改写为再求导，31对应齐次方程通解特征方程特征根代入得32初始条件:33练习：P394习题九34