几类可化为伯努力方程求解的一阶微分方程文献综述

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1、文献综述几类可化为伯努力方程求解的一阶微分方程　　　　　　　　一、前言部分众所周知，数学分析中研究了变量的各种函数及函数的微分与积分．如果函数未知，但知道变量与函数的代数关系式，便组成代数方程，通过求解代数方程解出未知函数．同样，如果知道自变量、未知函数及函数的导数组成的关系式，得到的便是微分方程．如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程就叫做常微分方程．常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置．我们所研究的函数，是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系，但在大量的

2、实际问题中遇到稍微复杂的一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的关系却往往不能直接表达出来，而比较容易的建立这些变量和它们的导数间的关系式就是常微分方程。科学家塞蒙斯(Simmons)曾如此评价微分方程在数学中的地位：“300年来分析是数学里首要的分支，而微分方程又是分析的心脏．这是初等微积分的天然后继课，不仅是为了解物理科学的一门最重要的数学，而且在它所产生的较深的问题中，它又是高等分析里大部分思想和理论的根源．”现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，例如：自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞

3、行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可化为求常微分解的问题。这就说明研究微分方程的求解仍是具有实际意义的。所谓Bernoulli方程就是形如如下方程的表达式，（1）这里、为的连续函数，是整数且。但是,在我们的生活中,已经发现的能用初等解法求解的微分方程是很有限的，例如形式上很简单的黎卡提方程就没有一般的初等解法。但是在数学理论上，黎卡提方程在已知特解的情况下就可以转化为Bernoulli方程求解。这就使得继续研究可以转化为Bernoulli方程求解的相关微分方程有一定的理论意义，另外，很多实际问题的微分方程

4、模型往往是比（1）形式更为复杂的Bernoulli方程。所以将更多形式下的微分方程转化为Bernoulli方程来求解的研究是一项很重要的工作。同时，对这一课题的研究，不仅可以加深我们对数学分析、常微分方程等所学课程内容的理解，而且能帮助我们更深刻掌握其理论的应用，更好地培养我们的创新思维。由于日常生活中的实际问题往往可以归结为求微分方程解的数学问题，这就使得研究微分方程的求解变成6研究微分方程的主要内容之一。对于具有广泛应用背景的Bernoulli方程的求解一直是人们十分关心的课题。因此进一步研究可以转化为Bernoulli方

5、程求解的常微分方程的可解类型是一项重要而又有意义的工作。二、主题部分对于Bernoulli方程求解的一阶微分方程进行研究，已经有一段历史了。它成为解微分方程的一种重要数学方法，人们利用这个求解方法，解出微分方程，然后把结果应用到日常实际生活当中去。在自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性等领域都有广泛的应用，许多数学家已经做了许多的课题和论文。经阅读大量的资料，对他们的主要成果进行了阐述：江磊在《几类应用变量代换求界的常微分方程》[1]中分析了几类简单的Riccati方程化

6、为Bernoulli方程的形式，并给出了一定的结论和总结。王高雄在《常微分方程》[2]一文中强调了Bernoulli方程解法的多样性，并给出了一些方法的具体解法和过程。汤光宋在《几类可化为常微分方程求解的积分方程》[3]中论述了若干可化为一阶、n阶常微分方程求解的积分方程的类型，并给出了解的表达式，应用其公式，可简化求相应方程解的演算过程，并对有关问题做了总结和推广。李鸿祥在《一阶常微分方程的求解》[4]一文中给出了一阶常微分方程的几种解法，其中就包括了Bernoulli方程的几种解法，而且对几种解法进行了分析、比较和概括。刘

7、志伟在《Bernoulli方程的新解法》中给出了一种新的解法[5]。胡劲松在《用“积分因子”求解Bernoulli方程》一文中给了Bernoulli方程求解的一些方法[6]。王玮在其所写的《一阶线性微分方程与贝努力方程的解法》[7]一文中提到我们一般所使用的教材都是通过变量代换、常数变易、变量回代的常规式方法来求解微分方程，即通过变换将原方程化为一阶线性方程，然后利用常数变易法求出一阶线性方程的解，再将变量回代，作者根据这个原理给出了一种新的方法来解方程，省去变量回代的过程。6冯变英在《试论Bernoulli方程的几种解法》[

8、8]中叙述了一些Bernoulli方程的几种特殊解法，给出了相应的结果和总结。朱熹平在《常微分方程》中也给出了对几类可化Bernoulli方程求解的一阶微分方程的具体解法和主要结论，并得出了一些有用的结论[9]。同时，Tom.M.A.Postol也在《Mathematical