【数学与应用数学专业】【毕业论文+文献综述+开题报告】一些不等式的证明及推广

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1、（20__届）本科毕业论文一些不等式的证明及推广摘要：本文主要介绍了柯西不等式、Young不等式、赫尔德不等式和闵可斯基不等式的基本形式以及它们的证明，此外还对这几个重要不等式的推广做了比较系统的综述，并举例说明了这些不等式在各个方面的具体应用。关键字：柯西不等式；Young不等式；赫尔德不等式；闵可斯基不等式TheProofAndGeneralizationofSomeImportantInequalitiesAbstract:Thispapersummarizedthebasicformofseveralimportantinequalitiesandtheirpro

2、of,suchasCauchyinequality,Younginequality,HolderinequalityandMinkowskiinequality.Inaddition,thisarticleintroducessomegeneralizationsoftheseinequalitiesandsomeapplicationsineveryaspectbytakingexamples.Keywords:Cauchyinequality;Younginequality;Holderinequality;Minkowskiinequality;目录1引言12柯西不

3、等式32.1柯西不等式的定义32.2柯西不等式的几种证明方法33柯西不等式的推广及应用83.1在实数域上柯西不等式的几个推广结论83.2柯西不等式的推广形式83.3柯西不等式在欧氏空间的推广形式103.4证明不等式103.5用柯西不等式解释样本线性相关系数124Young不等式144.1Young不等式的定义144.2Young不等式的几种证明方法144.3带项的Young不等式154.4Young不等式（积分形式）的定义164.5Young不等式（积分形式）的几种证明方法164.6Young逆向不等式174.7Young不等式与Young逆不等式的推广185赫尔德积分不

4、等式205.1赫尔德积分不等式205.2赫尔德积分不等式的几种证明方法205.3赫尔德不等式的推广23结论26致谢27参考文献281引言不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。近几年来，不等式在中学教学中得到广泛的重视。不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。它的应用非常广泛，在初等数学和高等数学中都有重要的意义。特别是20世纪90年代，不等式的研究空前活跃，研究的深度和广度都在迅速扩大。近年来，这些重要不等式一直受到广泛的关注，

5、不少学者对他们进行了较深入的研究与推广。本文主要是总结归纳相关的研究成果。如柯西不等式、Young不等式、赫尔德不等式和闵可斯基不等式的基本形式以及相关证明，此外本文还对这几个重要不等式的推广做了比较系统的综述，并举例说明了重要不等式在各个方面的具体应用。柯西不等式是著名的不等式之一，且不失为至善至美的重要不等式。它不仅是数学分析的重要工具，还和物理学中的矢量、高等数学中的内积空间、赋范空间有着密切的联系，这使得不等式的研究成了当前数学研究的一个热点。它不仅是数学分析的重要工具，还和物理学中的矢量、高等数学中的内积空间、赋范空间有着密切的联系。柯西不等式是由大数学家柯西（

6、Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。柯西不等式非常重要，适当、巧妙地引入柯西不等式，可以简化解题过程，起到事半功倍的作用。因此柯西不等式在初等数学、微分方程和泛函分析等领域都有重要的应用，再加上本身有着优美的对称形式、简洁的统一证法和命题间的内在联系，关于它的研究一直受到人们的关注。由此促使我们进一步了解柯西不等式的各种形式及它的应用。闵可夫斯基不等式是由闵可夫斯基（Minkows

7、ki）于1896年证明的，它的出现对于促进泛函空间理论的飞速发展起到了至关重要的作用。闵可夫斯基的主要工作在数论、代数和数学物理上。在数论方面，他对二次型进行了重要的研究。在1881年法国大奖中，闵可夫斯基深入钻研了高斯、狄利克雷和爱因斯坦等人的论著。因为高斯曾在研究把一个整数分解为三个平方数之和时用了二元二次型的性质，闵可夫斯基根据前人的工作发现：2把一个整数分解为五个平方数之和的方法与四元二次型有关。由此，他深入研究了n元二次型，建立了完整的理论体系。这样一来，上述问题就很容易从更一般的理论中得出，闵可夫斯基交给法国科学院