2020版高中数学 第二章 数列 专题突破四 数列求和学案（含解析）新人教B版必修5

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1、专题突破四　数列求和学习目标　1.掌握分组分解求和法的使用情形和解题要点.2.掌握奇偶并项求和法的使用情形和解题要点.3.掌握裂项相消求和法的使用情形和解题要点.4.进一步熟悉错位相减法．知识点一　分组分解求和法思考　求和：1＋2＋3＋…＋.答案　1＋2＋3＋…＋＝(1＋2＋3＋…＋n)＋＝＋＝＋1－.总结　分组分解求和的基本思路：通过分解每一项重新组合，化归为等差数列和等比数列求和．知识点二　奇偶并项求和法思考　求和12－22＋32－42＋…＋992－1002.答案　12－22＋32－42＋…＋992－1002＝(12－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002)＝(1

2、－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100)＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100)＝－5050.总结　奇偶并项求和的基本思路：有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和．但当求前n项和而n是奇数还是偶数不确定时，往往需要讨论．知识点三　裂项相消求和法思考　我们知道＝－，试用此公式求和：＋＋…＋.答案　由＝－得＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－.总结　如果数列的项能裂成前后抵消的两项，可用裂项相消求和，此法一般先研究通项的裂法，然后仿照裂开每一项．裂项相消求和常用公式：(1)＝(－)；(2)＝(－)；(3)＝(－)；

3、(4)＝[－]．知识点四　错位相减求和法思考　记bn＝n·2n，求数列{bn}的前n项和Sn.答案　∵Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n+1，②①－②，得－Sn＝21＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n+1＝－2－(n－1)·2n+1.∴Sn＝2＋(n－1)·2n+1，n∈N＋.总结　错位相减法主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和．利用“错位相减法”时，先写出Sn与qSn的表达式，再将两式对齐作差，正确写出(1－q)Sn的表达式；(利用此法时要注意讨

4、论公比q是否等于1)．1．并项求和一定是相邻两项结合．(　×　)2．裂项相消一定是相邻两项裂项后产生抵消．(　×　)题型一　分组分解求和例1　求和：Sn＝2＋2＋…＋2(x≠0)．解　当x≠±1时，Sn＝2＋2＋…＋2＝＋＋…＋＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋2n＋＝＋＋2n＝＋2n；当x＝±1时，Sn＝4n.综上知，Sn＝反思感悟　某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．跟踪训练1　已知正项等比数列{an}中，a1＋a2＝6，a3＋a4＝24.(1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{bn

5、}满足bn＝log2an，求数列{an＋bn}的前n项和．解　(1)设数列{an}的公比为q(q>0)，则解得∴an＝a1·qn-1＝2·2n-1＝2n.(2)bn＝log22n＝n，设{an＋bn}的前n项和为Sn，则Sn＝(a1＋b1)＋(a2＋b2)＋…＋(an＋bn)＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n)＝＋＝2n+1－2＋n2＋n.题型二　裂项相消求和例2　求和：＋＋＋…＋，n≥2，n∈N＋.解　∵＝＝，∴原式＝＝＝－(n≥2，n∈N＋)．引申探究求和：＋＋＋…＋，n≥2，n∈N＋.解　∵＝＝1＋，∴原式＝＋

6、＋＋…＋＝(n－1)＋以下同例2解法．反思感悟　求和前一般先对数列的通项公式变形，如果数列的通项公式可转化为f(n＋1)－f(n)的形式，常采用裂项求和法．跟踪训练2　求和：1＋＋＋…＋，n∈N＋.解　∵an＝＝＝2，∴Sn＝2＝.题型三　奇偶并项求和例3　求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1)．解　当n为奇数时，Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n＋5)＋(2n－3)]＋(－2n＋1)＝2·＋(－2n＋1)＝－n.当n为偶数时，Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n＋3)＋(2n－1)]＝2·＝n.∴Sn＝(－1)nn

7、(n∈N＋)．反思感悟　通项中含有(－1)n的数列求前n项和时可以考虑使用奇偶并项法，分项数为奇数和偶数分别进行求和．跟踪训练3　已知数列－1,4，－7,10，…，(－1)n·(3n－2)，…，求其前n项和Sn.解　当n为偶数时，令n＝2k(k∈N＋)，Sn＝S2k＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)n·(3n－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－6k＋5)＋(6k－2)]＝3k＝n；当n为奇数时，令n＝2k－1(k∈N＋)，∴Sn＝S2k－1＝S2k－a2k＝3k－(6k－2)＝2－3k＝.∴