2020版高中数学第二章数列专题突破四数列求和学案新人教b版

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1、专题突破四数列求和学习目标1.掌握分组分解求和法的使用情形和解题要点.2.掌握奇偶并项求和法的使用情形和解题要点.3.掌握裂项相消求和法的使用情形和解题要点.4.进一步熟悉错位相减法．知识点一分组分解求和法1111n＋n思考求和：1＋2＋3＋…＋2.2322211111111n＋n＋2＋3＋…＋n答案1＋2＋3＋…＋2＝(1＋2＋3＋…＋n)＋222223222111－n2nn＋12＝＋211－2nn＋11＝＋1－.n22总结分组分解求和的基本思路：通过分解每一项重新组合，化归为等差数列和等比数列

2、求和．知识点二奇偶并项求和法222222思考求和1－2＋3－4＋…＋99－100.222222答案1－2＋3－4＋…＋99－100222222＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100)＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100)＝－5050.总结奇偶并项求和的基本思路：有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和．但当求前n项和而n是奇数还是偶数不确定时，往往需要讨论．知识点三裂项相消求和

3、法111111思考我们知道＝－，试用此公式求和：＋＋…＋.nn＋1nn＋11×22×3nn＋1111答案由＝－得nn＋1nn＋1111＋＋…＋1×22×3nn＋111111＝1－＋－＋…＋－223nn＋11＝1－.n＋1总结如果数列的项能裂成前后抵消的两项，可用裂项相消求和，此法一般先研究通项的裂法，然后仿照裂开每一项．裂项相消求和常用公式：1111(1)＝(－)；nn＋kknn＋k11(2)＝(n＋k－n)；n＋k＋nk1111(3)＝(－)；2n－12n＋122n－12n＋11111(4)＝[

4、－]．nn＋1n＋22nn＋1n＋1n＋2知识点四错位相减求和法n思考记bn＝n·2，求数列{bn}的前n项和Sn.23n答案∵Sn＝1·2＋2·2＋3·2＋…＋n·2，①234nn+12Sn＝1·2＋2·2＋3·2＋…＋(n－1)·2＋n·2，②1234nn+1①－②，得－Sn＝2＋2＋2＋2＋…＋2－n·2n+1＝－2－(n－1)·2.n+1∴Sn＝2＋(n－1)·2，n∈N＋.总结错位相减法主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和．利用“错位相减法”时，

5、先写出Sn与qSn的表达式，再将两式对齐作差，正确写出(1－q)Sn的表达式；(利用此法时要注意讨论公比q是否等于1)．1．并项求和一定是相邻两项结合．(×)2．裂项相消一定是相邻两项裂项后产生抵消．(×)题型一分组分解求和121n1x＋x＋x＋222n2例1求和：Sn＝x＋x＋…＋x(x≠0)．解当x≠±1时，121n1x＋x＋x＋222n2Sn＝x＋x＋…＋x21412n1x＋2＋x＋2＋x＋2＋242n＝x＋x＋…＋x111＋＋…＋242n242n＝(x＋x＋…＋x)＋2n＋xxx22n-2

6、-2nxx－1x1－x＝＋＋2n2-2x－11－x2n2n+2x－1x＋1＝＋2n；2n2xx－1当x＝±1时，Sn＝4n.4n，x＝±1，2n2n＋2综上知，Sn＝x－1x＋1＋2n，x≠±1且x≠0.2n2xx－1反思感悟某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．跟踪训练1已知正项等比数列{an}中，a1＋a2＝6，a3＋a4＝24.(1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{bn}满足bn＝log2an，求数

7、列{an＋bn}的前n项和．解(1)设数列{an}的公比为q(q>0)，a1＋a1·q＝6，则23a1·q＋a1·q＝24，a1＝2，解得q＝2，n-1n-1n∴an＝a1·q＝2·2＝2.n(2)bn＝log22＝n，设{an＋bn}的前n项和为Sn，则Sn＝(a1＋b1)＋(a2＋b2)＋…＋(an＋bn)＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)2n＝(2＋2＋…＋2)＋(1＋2＋…＋n)n2×2－1n1＋n＝＋2－12n+1121＝2－2＋n＋n.22题型二裂项相消求和1111例

8、2求和：＋＋＋…＋，n≥2，n∈N＋.22222－13－14－1n－111111－解∵＝＝n－1n＋1，2n－1n－1n＋12111111111－－－－∴原式＝3＋24＋35＋…＋n－1n＋1211111＋－－＝2nn＋1232n＋1＝－(n≥2，n∈N＋)．42nn＋1引申探究2222234n求和：＋＋＋…＋，n≥2，n∈N＋.22222－13－14－1n－122nn－1＋11解∵＝＝1＋，222n－1n－1n－111111＋1＋1＋1＋2222∴原式＝2－1＋3－1＋4－1＋…