2020版高中数学 第二章 数列 专题突破二 数列的单调性和最大(小)项学案（含解析）新人教B版必修5

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1、专题突破二　数列的单调性和最大(小)项一、数列的单调性(1)定义：若数列{an}满足：对一切正整数n，都有an＋1＞an(或an＋1＜an)，则称数列{an}为递增数列(或递减数列)．(2)判断单调性的方法①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性．②利用定义判断：作差比较法，即作差比较an＋1与an的大小；作商比较法，即作商比较an＋1与an的大小，从而判断出数列{an}的单调性．例1　已知函数f(x)＝(x≥1)，构造数列an＝f(n)(n∈N＋)．试判断数列的单调性．解　f(x)＝＝－2＋.方法一　

2、∵an＝－2＋(n∈N＋)，an＋1＝－2＋，∴an＋1－an＝－＝＝＜0.∴an＋1＜an.∴数列{an}是递减数列．方法二　设x1＞x2≥1，则f(x1)－f(x2)＝－＝－＝，∵x1＞x2≥1，∴x1＋1＞0，x2＋1＞0，x2－x1＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在[1，＋∞)上为减函数，∴an＝f(n)为递减数列．反思感悟　研究数列的单调性和最大(小)项，首选作差，其次可以考虑借助函数单调性．之所以首选作差，是因为研究数列的单调性和研究函数单调性不一样，函数单调性要设任意x1

3、列只需研究相邻两项an＋1，an，证明难度是不一样的．另需注意，函数f(x)在[1，＋∞)上单调，则数列an＝f(n)一定单调，反之不成立．跟踪训练1　数列{an}的通项公式为an＝－3×2n-2＋2×3n-1，n∈N＋.求证：{an}为递增数列．证明　an＋1－an＝－3×2n-1＋2×3n－(－3×2n-2＋2×3n-1)＝3(2n-2－2n-1)＋2(3n－3n-1)＝－3×2n-2＋4×3n-1＝2n-2，∵n≥1，n∈N＋，∴n-2≥1-2＝，∴12×n-2≥8＞3，∴12×n-2－3＞0，又2n-2＞0，∴an＋1－an＞0

4、，即an＋1＞an，n∈N＋.∴{an}是递增数列．二、求数列中的最大(或最小)项问题常见方法：(1)构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值．(2)利用(n≥2)求数列中的最大项an；利用(n≥2)求数列中的最小项an.当解不唯一时，比较各解大小即可确定．例2　在数列{an}中，an＝，则该数列前100项中的最大项与最小项的项数分别是________．答案　45,44解析　an＝＝1＋，设f(x)＝1＋，则f(x)在区间(－∞，)与(，＋∞)上都是减函数．因为44<<45，故数列{an}在0

5、5时递减，借助f(x)＝1＋的图象知数列{an}的最大值为a45，最小值为a44.反思感悟　本题考查根据数列的单调性求数列的最大项和最小项，此类题一般借助相关函数的单调性来研究数列的单调性，然后再判断数列的最大项与最小项．跟踪训练2　已知数列{an}的通项公式an＝(n∈N＋)，则{an}的最大项是(　　)A．a3B．a4C．a5D．a6答案　C解析　f(x)＝在，上都是增函数．且1≤n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.∴{an}的最大值为a5.例3　已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，n∈N＋.(1)数列中有多少项是

6、负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出其最小值．解　(1)由n2－5n＋4＜0，解得1＜n＜4.∵n∈N＋，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数．(2)∵an＝n2－5n＋4＝2－，且n∈N＋，∴当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.反思感悟　有时也可借助函数最值来求数列最值．但应注意函数最值点不是正整数的情形．跟踪训练3　已知(－1)na＜1－对任意n∈N＋恒成立，则实数a的取值范围是________．答案　解析　设f(n)＝1－，n≥1，则f(n)单调递增．当n为奇数时，有－a＜1－又f(n)min

7、＝f(1)＝1－＝.∴－a＜即a＞－.当n为偶数时，a＜1－.f(n)min＝f(2)＝1－＝.∴a＜.综上，－＜a＜.例4　已知数列{an}的通项公式为an＝nn+1，n∈N＋，则该数列是否有最大项，若有，求出最大项的项数；若无，请说明理由．解　∵an＋1－an＝(n＋1)·n+2－nn+1＝n+1·，且n∈N＋，∴当n>3，n∈N＋时，an＋1－an<0；当1≤n≤3，n∈N＋时，an＋1－an>0.综上，可知{an}在n∈{1,2,3}时，单调递增；在n∈{4,5,6,7，…}时，单调递减．所以存在最大项．又a3＝3×3+1

8、＝4×4+1，所以第4项为最大项．反思感悟　如果本例用函数单调性来解决，就会变得很麻烦．跟踪训练4　已知数列{bn}的通项公式为bn＝，n∈N＋，求{bn}的最大值．解　∵bn＋1－bn＝－＝，且n∈N＋，