高中数学 专题1 数列及其数列求和教案 新人教a版必修5

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1、专题1：数列及其数列求和►解读考纲（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的问题．►重点、考点精读与点拨一、基本知识1．定义：(1).数列：按一定次序排序的一列数(2)等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列叫做等差数列(3)等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前

2、一项的比等于同一个常数，则这个数列叫做等比数列2．通项公式与前n项和公式为等差数列：为等比数列：（q3．常用性质为等差数列，则有（1）从第二项起，每项是前一项与后一项的等差中项，（n>1）（2）（1）若m+n=p+q,则：，特殊的：若m+n=2r,则有：（2）若则有：（3）若（4）为等差数列为常数)（7）┅┅仍成等差数列（8）为等差数列，则为等差数列（p，q为常数）（9）若项数为偶数2n，，若项数奇数2n－1，，（10）为等比数列，则有（1）只有同号的两数才存在等比中项（2）（3）若m+n=p+q,则：，特殊的：若m+n=2r,则有：（4）为等比数列，则，，{}为

3、等比数列（）（5）等比数列中连续n项之积构成的新数列仍是等比数列，当时，连续项之和仍为等比数列（6）二、在数列中常见问题：1、等差数列的通项公式是关于n的一次函数，（定义域为正整数集），一次项的系数为公差；等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，二次项系数为公差的一半，常数项为0.证明某数列是等差（比）数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证：2、等差数列当首项a1>0且公差d<0时(递减数列)，前n项和存在最大值。利用确定n值，即可求得sn的最大值（也可以用二次函数的性质或图象解）。等差数列当首项a1<0且公差d>0时（递增数列），前n项和存在最小值。

4、3、遇到数列前n项和Sn与通项an的关系的问题应利用4、满足的数列，求通项用累加（消项）法，如：已知数列{an}中，a1=1,an+1=an+2n,求an；满足的数列，求通项用累乘（消项）法，如：已知数列{an}中，a1=1,an+1=an,求an；三、数列求和的常用方法：(1)公式法：必须记住几个常见数列前n项和等差数列：；等比数列：；(2)分组求和：如：求1+1,,,…,,…的前n项和可进行分组即：前面是等比数列，后面是等差数列，分别求和（注：）(3)裂项法：如，求Sn，常用的裂项，；(4)错位相减法：其特点是cn=anbn其中{an}是等差，{bn}是等比如

5、：求和Sn=1+3x+5x2+7x3+……+(2n－1)xn－1注意讨论x，(5)倒序求和：等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的。如求证：Cn0+3Cn1+5Cn2+…+(2n—1)Cnn=(n+1)2n►名题归类例释错位相减法：例1求数例1，3a，5a2，7a3，…(2n－1)an-1，…(a≠1)的前n项和．　　解：因Sn=1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an-1，(1)　　(1)×a得aSn=a＋3a2＋5a3＋…(2n－3)an-1＋(2n－1)an，（2）　　两式相减得　　(1－a)Sn=1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an-1－(2n－

6、1)an　　=2(1＋a＋a2＋a3＋…＋an-1)－(2n－1)an-1　　=所以:裂项求和法：例2求和：解：，分部求和法：例3已知等差数列的首项为1，前10项的和为145，求解：首先由则倒序相加法：例4设数列是公差为，且首项为的等差数列，求和：解：因为（1）（2）（1）+（2）得常规题型：例1．已知数列中，是其前项和，并且，⑴设数列，求证：数列是等比数列；⑵设数列，求证：数列是等差数列；解：(1)由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a．a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b　　　①已知S=4a+2，a=1，

7、a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3　　②由①和②得，数列{b}是首项为3，公比为2的等比数列，故b=3·2．例2．设二次方程x-+1x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．(1)试用表示a；（2）例3．数列中，且满足⑴求数列的通项公式；⑵设，求；解：（1）由题意，，为等差数列，设公差为，由题意得，.（2）若，时，故 ►连线高考填空题：1、（湖南卷）若数列满足：，2，3….则　　　　　　.解：数列满足：，2，3…，该数列为公比为2的等比数列，∴.2、（山东卷）设为等差数列的前n项和，＝14，S10－＝30，则S9＝　　　　.解：设

8、等差数列的