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《宏观经济数量分析方法微分方程与差分方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、微分方程与差分方程简介木章简单地介绍微分方程、差分方程的一些基本概念和稳定性概念。§2.1微分方程的基本概念微分方程的定义及其阶在许多实际和理论问题中，需要寻找变量Z间的函数关系。一燉来说，变虽Z间的函数关系很难直接求出，然而，根据以知条件，往往可以得到一个H变量、未知函数与它的导数之间的关系式。因此，希望利用以知的函数与它的导数之间的关系式，去求岀这个函数本身。为此，给出下列描述性的定义：定义含有未知函数和未知函数各阶导数的等式称为微分方程。在该等式中，若未知函数及其导数是一元函数，就称该微分方程是常微分方程。若未知两数是多元函数，且该等式中所含的导数是偏导数，则称该微分方程是
2、偏微分方程。本章仅介绍常微分方程。在卜-面，“微分方程”一词，均是指帘微分方程。微分方程的一般形式是其屮，兀是自变量，y是兀的函数，V，…，是y对兀的各阶导数。微分方程的解、通解、特解和初始条件若函数(可以是显函数，也可以是隐函数)y=y(x)满足该微分方程，即将y=)，(%),y'yYx),…，)W)=)W(x)代入到微分方程能使等式成为恒等式，则称这个函数y=y(x)是这个微分方程的解。例假设曲线在点x处的切线斜率是2兀。求满足这一条件的所有曲线。解：根据导数的几何意义，有yf=2x这是一个一阶微分方程。两边同时积分，有Jyfdx=^Ixdx=x2所以，该微分方程的解是2y=
3、x+c由于一个函数对应平面上的一条曲线，故也常常称微分方程F(.y,)『，…，y⑷)=0的解y=y(x)是该微分方程的积分Illi线。上例的积分Illi线如图2.1所示。从图中町以看到，该微分方程冇无穷多条积分曲线,并且,所有的积分曲线都可以通过其中的某一条积分曲线沿纵轴平行移动而得到。-•般來说，若一个微分方程有解，则它有无穷多个解，且这些解的图象互相平行。从上例可以看出微分方程冇无穷多个解的原因。E2.1从本质上讲，求一个微分方程的解，就是要设法进行积分；〃阶微分方程就要进行〃次积分(当然，根据微分方程的不同形式，在进行具体求解时，可能不需要直接作积分运算:)。积分一次就会出
4、现一个常数。因此，斤阶微分方程的一般解应含有H个任意常数，故而微分方程冇无穷多解。为此，我们给出下列定义：定义若一个〃阶微分方程的解含有〃个独立的任意常数，就称这个解是该微分方程的通解。这样，"阶微分方程通解的一般形式是y(x,y,C],…，C“)=0在这里，以例子的方式，直观地解释“独立的”一词的含义。例如，函数y二q+C2兀含有两个独立的任意常数。在函数y=c,x+c2x中，虽然形式上有两个常数，然而，该函数可以合并为y=(c^c2)x=cxo因此，该函数只含有一个独立的任意常数。又如,ax+by+c=()等价于y/、ax+Ibj所以，该隐函数仅含有两个独立任意常数。类似的，
5、函数y=◎二也只含有一个独立的任意常数。一•般來说，不能通过合并同类项、变量代换等变换将其合并的常数才是独立的。在微分方程的通解中，若指定其屮的任意常数为一组固定的数值，则所得到的解称为该微分方程的一个特解。例如，y=x2就是在上例中，令c=0的特解。在许多问题中，通常需要去求微分方程的一个满足某种条件的特解。对于不同的条件,求对M特解的方法不同，一般方法是首先求出微分方程的通解，再根据所给的条件，去设法确定通解中的常数的适当值。对于一个川阶微分方程，求其某个特解的最常见的条件是给出在x=x0处，未知函数在该点的函数值以及直到〃-1阶的导数值。这种条件称为微分方程的初始条件，记为
6、儿弋=刃)，儿十=冗，…，严什=yV}.V=Xq其中，儿，兀,…，是已知常数。给定初始条件，求对应特解的问题称为微分方程的初值问题。求解初值问题的常见方法是：1)求出微分方程的通解；2)求出通解的直到n-1阶的导数；3)代入初始条件，得到含有川个常数q,C2,…，C“的斤个方程；解这组方程，得到Cj,c2,…，c”的一组指定值；4)代入通解，得到满足初始条件的特解。§2.2几类常见微分方程的解法可分离变量的微分方程下列形式的一阶微分方程称为可分离变量的微分方程PiMq2(y)dx+p2(兀)如(y)dy=0也就是说，若一阶微分方程可以按dx,合并为两项，两个微分的系数都可以分解为
7、两个因子的乘积，并几，每个因子耍么只包含变量兀，要么只包含变蜃y,则这种微分方程就是可分离变量的微分方程。在该微分方程的两边同时除以P2(x)q2(y)，可将它转化为下列形式：”2(X)?2()‘)这种形式的微分方程称为变量已分离的微分方程。其特点是变量X的微分dx的系数只与兀有关，变量y的微分dy的系数只与y有关。这类微分方程可以通过直接积分得到具通解。事实上，在变量已分离的微分方程的两边同时积分，有屮也dx+fiQU之3打2(刃不难验证，由这个方程确定的隐函数是原微分方程的通
