宏观经济数量分析方法02-微分方程与差分方程

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1、微分方程与差分方程简介木章简单地介绍微分方程、差分方程的一些基本概念和稳定性概念。§2.1微分方程的基本概念微分方程的定义及其阶在许多实际和理论问题中，需要寻找变S之间的函数关系。一般来说，变S之间的函数关系很难直接求出，然而，根据以知条件，往往可以得到一个£）变量、未知函数与t的导数之间的关系式。因此，希矩利川以知的函数与它的导数之间的关系式，去求出这个函数本身。为此，给出K列描述性的定义：定义含有未知函数和未知W数各阶导数的等式称为微分方程。在该等式巾，若未知闲数及其导数足一元函数，就称该微分方程足常微分方程。若未

2、知函数足多元函数，且该等式中所含的导数是偏导数，则称该微分方程是偏微分方程。本章仅介绍常微分方程。在K面，“微分方程”一词，均是指常微分方程。微分方程的一般形式是F（x，y，/，…，，））=0K屮，久是自变量，y是a:的函数，/，…，，对义的各阶导数。微分方程的解、通解、特解和初始条件若函数（可以是显函数，也可以是隐函数）y=y（x）满足该微分方程，即将y=y（x），/二/⑴，…，y⑻二y⑻⑺代入到微分方程F（x，y，/，"•，产＞）=0,能使等式成为恒等式，则称这个函数=y（x）是这个微分方程的解。例假设曲线在点处的

3、切线斜率是2^。求满足这-•条件的所有曲线。解：根据异数的几何意义，有=2x这是一个一阶微分方程。两边同吋积分，奋所以，该微分方程的解是ydx2xdx=x~+cy=x2由于一个函数对应平而上的一条曲线，故也常常称微分方程F（x，＞，/,•••,/'"）=0的解=y（x）足该微分方程的积分曲线。上例的积分曲线如图2.1所示。从图中N'以看到，该微分方程冇无穷多条积分曲线，并且，所奋的积分曲线都可以通过其中的某一条积分曲线沿纵轴平行移动而得到。一般来说，若一个微分方程奋解，则它宥无穷多个解，且这些解的图象互和T行。从上例

4、可以看出微分方程冇无穷多个解的原因。从本质上讲，求一个微分方程的解，就是要设法进行积分；n阶微分方程就要进行H次积分（当然，根裾微分方程的不同形式，在进行具体求解时，可能不需要且接作积分运算）。积分一次就会出现一个常数。因此，阶微分方程的一般解应含有/I个任意常数，故而微分方程有无穷多解。为此，我们给出下列定义：定义若一个/?阶微分方程的解含有H个独立的任意常数，就称这个解是该微分方程的通解。歡令方裡易差令方趕这样，n阶微分方程通解的一般形式是y(x,y,C,，…，C,J=O在这里，以例子的方式，直观地解释“独立的”一

5、词的含义。例如，蚋数=含有两个独立的任意常数。在函数;v=中，虽然形式上有两个常数，然而，该函数可以合并为因此，该函数只含有一个独立的任意常数。又如，6/x+/＜v+c=0等价于y二〔-所以，该隐函数仅含有W个独立任意常数。类似的，函数＞，=/1^+"=4^^=5^也只含有一个独立的任意常数。一般來说，不能通过合并M类项、变量代换等变换将其合并的常数方是独立的。在微分万程的通解屮，若指定M屮的任意常数为一组岡定的数位，则所得到的解称为该微分方程的一个特解。例如，.v=x2就是在上例中，令c=0的特解。在许多问题中，通常

6、需耍去求微分方程的一个满足某种条件的特解。对于不M的条件,求对/、V:特解的方法不同，一般方法是首先求出微分方程的通解，再根裾所给的条件，去设法确定通解中的常数的适当值。对于一个h阶微分方程，求其某个特解的最常见的条件足给出在％=%处，未知函数在该点的函数值以及直到n-1阶的导数值。这种条件称为微分方程的初始条件，记为)’ln=y0,/L=)＜，…，广1)

7、=#-"■1X-XOX=Aq-K中，足已知常数。给定初始条件，求对应特解的问题称为微分方程的初值问题。求解初值问题的常见方法是：1)求出微分方程的通解；2)求出通解

8、的直到n-1阶的导数；3)代入初始条件，得到含有n个常数q，e2，…，么的n个方程；解这组方程，得到Cj,c2,•••,的一组衔定值；4)代入通解，得到满足初始条件的特解。§2.2几类常见微分方程的解法可分离变量的微分方程下列形式的一阶微分方程称为可分离变量的微分方程A(y)dx-^-p2{x)q}(y)dy=O也就是说，若一阶微分方程可以按办，合外为两项，两个微分的系数都可以分解为两个因子的乘积，并几，每个因子耍么只包含变量X,要么只包含变量＞，，则这种微分方程就是可分离变量的微分方程。在该微分方程的两边同时除以pA

9、x)qAy^可将它转化为下列形式：处U+碰办=0P2U)q2(y)这种形式的微分方程称为变量已分离的微分方程。其特点是变量A的微分也的系数只与X有关，变量；V的微分办，的系数只与＞，有关。这类微分方程可以通过直接积分得到其通解。事实上，在变景己分离的微分方程的两边同吋积分，有dx^r不难验证，由这个方程确定的隐函数足原微分方程的通