冲刺天高考文科数学解题策略专题八第二节运用数形结合思想解题的策略(新)

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1、笫二节运用数形结合思想解题的策略数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽彖问题具体化，能够变抽彖思维为形象思维，有助于把握数学问题的木质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.运用数形结合思想,不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大人简化了解题过程.这在解选择题、填空题中更显其优越.考试大纲的说明中强调：“在高考中，充分利用选择题和填空题的题型特点，为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形问题来解决的意识，而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，对数量关系问题的研究仍突出代数的方

2、法而不捉倡使用儿何的方法，解答题屮对数形结合思想的考查以由'形’到'数’的转化为主.”考试要求展望2011年高考考查数形结合思法，可能会与以下内容为载体來命题：①函数与图象的对应关系；②曲线与方程的对应关系；③以儿何元索和儿何条件为背景建立起來的概念，如三角函数等;④所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义.题型一数形结合在函数与方程中的应用例1.已知a>0且a工1,试求使方程logu(x-ak)=log?(x2一/)有解的实数k的取值范围.点拨:利川对数相等的意义，同时构造两个函数,通过函数的图象有没有交点进而得出方程有没有解,从而确定的取值范用.

3、解：原方程等价于0。-族=J/_q2构造曲线C:y=yjx2-a2,肓线l:y=x-ak从而使问题转化为直线I和双曲线C:X2-/=(y>0)图8-2在兀轴上半部分有交点，求实数k的取值范用，如图8-2所示:有三条临界直线厶、Z2>Z3①当I在/,和/2Z间时，直线/在y轴上的截距一ak满足一a<-ak<0时，/与C有一个交点，解Z可得Ovk<1②当/在厶上方时，直线/在y轴上的截距-川:满足a<-ak时，/与C有一个交点，解之可得k<-综合①②可得，所求R的取值范围是1或0<£<1}易错点：解方程吋很可能扩大兀的取值范围，另外数形结合不会利用双曲线

4、渐近线.变式与引申1:求函数y=x2+x-a+l的值域.题型二数形结合在不等式中的应用例2.若不等式(4—x11变式与引申2：已知函数/(%)

5、=

6、igx

7、-(

8、r有两个零点“兀2,则有()解：如图8-4所示，•••走=殛+而=犹+而影区域内(不含边界)运动，且OP=xOA+yOB,则x的収值范围是.题型三数形结合在平面向量中的应用例3.在ABC中，AB=4,AC=3,。为外心，求走•犹的值.点拨:结合图形，利川平面向量基本定理和平面向量的三角形法则解题.:,AG=-(AB+AC^BG+CG)=-(AB^AC-GB-GC)22设BC的中点为0,则GB+GC=2G0,且GO・BC=0AGBC=-(AB+AC-2G0)BC=-(AB+AC)BC221————>1—2—27=-(ABACy(AC-

9、AB)=-(AC-AB)=——.222_1—.—,—易错点：不能将AG表示成一(AB+AC-2G0),不能发现G0与BC的垂总关系.2变式与引申3：(1)如图8-5,OMUAB，点P在由射线0M、线段及的延长线围成的阴；当兀=一£时，V的取值范围是(2)如图8-6,AB是半圆0的直径，C、D是A3三等分点，M、N是线段的三等分点.若OA=6f则而•疋的值是(A.34B.26C.10题型四数形结合在解析几何中的应用例4•求函数y=Vx2+1+yjx2-4x4-8最小值.D.2图8-6点拨：由题意可知，函数的定义域为7?,若从代数角度考虑，确实比较复杂;公

10、式，转化为儿何问题，则非常容易解决解：y=Jx2+1+J兀2—4兀+8=J(x—o)2+(o—+J(x—2)若借助两点间的距离令A(0,1),B(2,2),P(兀,0)则问题化为:在x轴求一点P(x,0),使得PA+PB取最小值•・•4关于兀轴的对称点为心0,—1)/.PA

11、+PB)=AfB7min=J(2_0尸+(2+厅=価不得其解.而将代数问题几何化则使问题易错点：如果用代数方法(如两边平方等)去求解问题,往往会陷入其屮，变得容易解决.变式与引申4：已知坷〉七>心〉0,则a二呃S+习，X1徑3+2),。5+2)XX2兀3的大小关系是()・A.

12、bb>cC.a