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《第二节 运用数形结合思想解题的策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第二节运用数形结合思想解题的策略数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化,能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程.这在解选择题、填空题中更显其优越.考试大纲的说明中强调：“在高考中，充分利用选择题和填空题的题型特点，为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形问题来解决的意识，而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，对数量关系问题的研究仍突出代数的
2、方法而不提倡使用几何的方法，解答题中对数形结合思想的考查以由‘形’到‘数’的转化为主.”考试要求展望2011年高考考查数形结合思法，可能会与以下内容为载体来命题：①函数与图象的对应关系；②曲线与方程的对应关系；③以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如三角函数等；④所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义.题型一数形结合在函数与方程中的应用例1.已知且,试求使方程有解的实数的取值范围.点拨:利用对数相等的意义,同时构造两个函数,通过函数的图象有没有交点进而得出方程有没有解,从而确定出的取值范围.解：原方程等价于xyol3l2l1图8-2构造曲线
3、,直线从而使问题转化为直线和双曲线()在轴上半部分有交点，求实数的取值范围,如图8-2所示：有三条临界直线、、①当在和之间时，直线在轴上的截距满足时，与有一个交点，解之可得②当在上方时，直线在轴上的截距满足客服热线：025-68801918、68801919-9-学科王教育资源网时,与有一个交点，解之可得学科王综合①②可得，所求的取值范围是易错点:解方程时很可能扩大的取值范围,另外数形结合不会利用双曲线渐近线.变式与引申1:求函数的值域.题型二数形结合在不等式中的应用学科王例2.若不等式的解集为区间,且,学科王则.点拨：通过数形结合的思想把一个解不等
4、式的问题转化为求一条直线与半圆何时有交点.解：令,.其示意图如图8-3:若,要满足,则,此时.从而.若,要满足,则.则,从而不存在.易错点：如不能联想到直线与圆的图象,则思维很容易受阻.变式与引申2：已知函数有两个零点，则有（）A.B.C.D.题型三数形结合在平面向量中的应用例3.在中，，G为外心，求的值.点拨:结合图形，利用平面向量基本定理和平面向量的三角形法则解题.解：如图8-4所示，设的中点为，则，且客服热线：025-68801918、68801919-9-学科王教育资源网.易错点：不能将表示成，不能发现与的垂直关系.变式与引申3：（1）如图8
5、-5，，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且,则的取值范围是；当时,的取值范围是.CAOMBND图8-6（2）如图8-6，是半圆的直径，是三等分点，是线段的三等分点.若,则的值是（）A.34B.26C.10D.2题型四数形结合在解析几何中的应用例4.求函数最小值.点拨：由题意可知，函数的定义域为，若从代数角度考虑，确实比较复杂；若借助两点间的距离公式，转化为几何问题，则非常容易解决解：令,,则问题化为:在轴求一点,使得取最小值客服热线：025-68801918、68801919-9-学科王教育资源网xyA(0,1)B(2,2
6、)图8-7关于轴的对称点为易错点：如果用代数方法（如两边平方等）去求解问题，往往会陷入其中，不得其解.而将代数问题几何化则使问题变得容易解决.变式与引申4：已知，则的大小关系是（）.A.B.C.D.本节主要考查：数形结合思想一方面考查学生对数学的符号语言、图形语言的理解能力，另一方面考查学生的构图能力以及对图形的想象能力、综合应用知识等能力.学科王点评:（1）数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法,它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化,“数缺形时少直观，形少数时难
7、入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质.学科王（2）函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是“以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形”，还有导数更是数形结合的产物，这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台.（3）在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题.用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休”.（4）是否选择应用数形结合的原则是：是否有利于解决问题，用最简单的办法解决问题
8、为最终目的.客服热线：025-68801918、68801919-9-学科王教育资源网习题8-21.若对一切
