第二节运用数形结合思想解题的策略

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1、第二节运用数形结合思想解题的策略数形结介思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽彖问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.运用数形结合思想，不仅冑观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程.这在解选择题、填空题中更显其优越.考试大纲的说明中强调：“在高考中，充分利用选择题和填空题的题型特点，为考查数形结介的思想提供了方便，能突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的儿何图形问题来解决的意识，而在解答题中，考虑到推理论证的严密性

2、，对数量关系问题的研究仍突出代数的方法ifti不提倡使用几何的方法，解答题中对数形结合思想的考杳以山'形'到'数’的转化为主.”考试要求展望2011年高考考查数形结合思法，可能会与以下内容为载体來命题：①函数与图彖的对应关系；②曲线与方程的对应关系；③以儿何元索和儿何条件为背景建立起来的概念，如三角函数等；④所给的等式或代数式的结构禽有明显的儿何意义.题型一数形结合在函数与方程中的应用例1.已知0>（）Hd工1,试求使方程log“（X一ak）=logf（X2一/）有解的实数k的取值范围.点拨:利用对数相等的意义，同时

3、构造两个函数，通过两数的图象有没有交点进而得岀方程有没有解，从而确定;IM的取值范围.解：原方程等价于0。-心J/—/构造曲线C:y=yjx2-a2,直线l:y=x-ak从而使问题转化为直线/和双曲线C：兀2一）,,2=/（），no）在兀轴上半部分冇交点，求实数比的取值范围，如图8-2所示:有三条临界直线厶、厶、厶①当I在厶和厶Z间时，直线/在y轴上的截距一ak满足-a<-ak<0时，/与C有一个交点,解之可得②当/在厶上方时，直线I在V轴上的截距-ak满足a<_ak时，/与C有一个交点，解Z可得k<-综介①②可得

4、，所求R的取值范围是*^<一1或()<&<1}易错点：解方程时很可能扩人x的取值范I亂另外数形结合不会利用双曲线渐近线.变式与引申1:求函数y=x2+x-a+的值域.题型二数形结合在不等式中的应用例2.若不等式』4_分mi)的解集为区间［讪,且b—Q=1,点拨：通过数形结介的思想把一个解不等式的问题转化为求一条直线与半圆何时有交点.解：令)'i=』4-X2,y2=k(x+1).其刀p意图如图8-3:若k>0,要满足

5、-1,从而R不存在.易错点：如不能联想到直线与関的图象,则思维很容易受阻.变式与引申2：已知函数/(x)=

6、lgx

7、-(-r有两个零点坷宀，则有()A.x{x2<0B.x{x2=1C・x{x2>1D.0

8、,则GB+GC=2G0,且死万€=0—.—.1—.———1———•••AGBC=-{AB+AC-2G0)BC=-(AB^AC)•BC121————1—2—27=-(AB+AC)AC-AB)=-(AC-AB)=——.222易错点：不能将走表示成

9、(AB+AC-2Gd),不能发现死与就的垂直关系.变式与引申3：(1)如图8-5,OMUAB，点P在由射线0M、线段0B及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，口0P=xOA+yOB,则兀的取值范围是当x=-丄时，y的取值范围是•2（2）如图8-6,4B是半圆0的直径

10、，C、D是43三等分点，M、N是线段的三等图8-6分点.若0A=6i则MD・NC的值是（）A.34B.26C.10D.2题型四数形结合在解析几何中的应用例4.求函数y=+1+-4x+8最小值.点拨：由题意可知，函数的定义域为R,若从代数角度考虑，确实比较复杂；若借助两点间的距离公式，转化为几何问题，则非常容易解决解：y=兀2—4兀+8=J（兀—o）2+（o—1）2+J（兀—2）2+（0—2）2令4(0,1),B(2,2),P(x,0)则问题化为:在兀轴求一点P（x,0）,使得PA+PB取最小值•・・人关于兀轴的对称点

11、为”（0厂1）.•.（PA

12、+PB

13、）=AfB=7（2-0）2+（2+1）2=V137min易错点：如果用代数方法（如两边平方等）去求解问题,往往会陷入中，不得其解.而将代数问题几何化则使问题变得容易解决.变式与引申4：已知x{>x2>x3>0,则。旦（2西+2）,：」。艮3+2）,心1喝3+2）的大小关系是（）.西兀2兀3A.b