2018-2019学年高中数学第二讲参数方程一第二课时参数方程和普通方程的互化学案新人教A版选修

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1、第2课时　参数方程和普通方程的互化学习目标　1.了解参数方程化为普通方程的意义.2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法.3.能根据参数方程与普通方程的互化灵活解决问题．知识点　参数方程和普通方程的互化思考1　要判断一个点是否在曲线上，你觉得用参数方程方便还是用普通方程方便？答案　用普通方程比较方便．思考2　把参数方程化为普通方程的关键是什么？答案　关键是消参数．梳理　(1)曲线的普通方程和参数方程的互相转化①曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程；②如果知道变数x，y中的一个与参数t

2、的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程．(2)参数方程化为普通方程的三种常用方法①代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数；②三角函数法：利用三角恒等式消去参数；③整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去．特别提醒：化参数方程为普通方程F(x，y)＝0，在消参过程中注意变量x，y的取值范围，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)的值域得x，y的取值范围.类型一　参数方程化为普通方程例1　将下列参数方程化为普通方程，并判断曲线的形状．(1)(

3、t为参数)；(2)(θ为参数)；(3)(t≠－1，t为参数)．解　(1)由x＝＋1≥1，得＝x－1，代入y＝1－2，得y＝－2x＋3(x≥1)，这是以(1,1)为端点的一条射线．(2)由得①2＋②2，得＋＝1，这是椭圆．(3)方法一　x＋y＝＋＝＝1，又x＝＝－1，故x≠－1，y＝＝＝2－，故y≠2，所以所求的方程为x＋y＝1(x≠－1，y≠2)．方程表示直线(去掉一点(－1,2))．方法二　由x＝，所以x＋xt＝1－t，所以(x＋1)t＝1－x，即t＝，代入y中得，y＝＝＝＝1－x，所以x＋y＝1(x≠－1，y≠2)．方程表示直线(去掉

4、一点(－1,2))．反思与感悟　消去参数方程中参数的技巧(1)加减消参数法：如果参数方程中参数的符号相等或相反，常常利用两式相减或相加的方法消去参数．(2)代入消参数法：利用方程思想，解出参数的值，代入另一个方程消去参数的方法，称为代入消参法，这是非常重要的消参方法．(3)三角函数式消参数法：利用三角函数基本关系式sin2θ＋cos2θ＝1消去参数θ.跟踪训练1　将下列参数方程化为普通方程：(1)(t为参数)；(2)(θ为参数)．解　(1)∵x＝t＋，∴x2＝t2＋＋2，把y＝t2＋代入得x2＝y＋2.又∵当t>0时，x＝t＋≥2，当且仅

5、当t＝1时等号成立；当t<0时，x＝t＋≤－2，当且仅当t＝－1时等号成立．∴x≥2或x≤－2，∴普通方程为x2＝y＋2(x≥2或x≤－2)．(2)可化为两式平方相加得(x－2)2＋y2＝9，即普通方程为(x－2)2＋y2＝9.类型二　普通方程化为参数方程例2　已知圆C的方程为x2＋y2－2x＝0，根据下列条件，求圆C的参数方程．(1)以过原点的直线的倾斜角θ为参数；(2)设x＝2m，m为参数．解　(1)过原点且倾斜角为θ的直线方程为y＝xtanθ，由方程组消去y，得x2＋x2tan2θ－2x＝0，解得x＝0或x＝＝＝2cos2θ.当x＝

6、0时，y＝0，当x＝2cos2θ时，y＝xtanθ＝2cosθ·sinθ＝sin2θ.又适合参数方程∴所求圆C的参数方程为(θ为参数，0≤θ<π)．(2)把x＝2m代入圆C的普通方程，得4m2＋y2－4m＝0，可得y2＝4m－4m2，即y＝±2，∴所求圆C的参数方程为(m为参数)．反思与感悟　(1)普通方程化为参数方程时，选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价．(2)参数的选取不同，得到的参数方程是不同的．跟踪训练2　已知曲线的普通方程为4x2＋y2＝16.(1)若令y＝4sinθ(θ为参数)，如何求曲线

7、的参数方程？(2)若令y＝t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x＝2t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？解　(1)把y＝4sinθ代入方程，得到4x2＋16sin2θ＝16，于是4x2＝16－16sin2θ＝16cos2θ，∴x＝±2cosθ(由θ的任意性可取x＝2cosθ)．∴4x2＋y2＝16的参数方程是(θ为参数)．(2)将y＝t代入普通方程4x2＋y2＝16，得4x2＋t2＝16，则x2＝，∴x＝±.因此，椭圆4x2＋y2＝16的参数方程是和(t为参数)同理将x＝2t代入普通方程4x2＋y2＝16，得参数方程为和(t为参数

8、)．类型三　参数方程与普通方程互化的应用例3　已知x，y满足圆C：x2＋(y－1)2＝1的方程，直线l的参数方程为(t为参数)．(1)求3x＋4y的最大值和最小值；(2)若P(x，y)是圆C上