高中数学第2讲参数方程1.2参数方程和普通方程的互化学案新人教a版选修4

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1、第2课时 参数方程和普通方程的互化1.了解参数方程化为普通方程的意义.2.理解参数方程与普通方程的互相转化与应用.(难点)3.掌握参数方程化为普通方程的方法.(重点)[基础·初探]教材整理 参数方程和普通方程的互化阅读教材P24~P26,完成下列问题.1.曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地,可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.2.如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y=g(t),那么就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致.1.将参数方程(θ为参数)化为普通方程

2、为(  )A.y=x-2B.y=x+2C.y=x-2(2≤x≤3)D.y=x+2(0≤y≤1)【解析】 消去sin2θ,得x=2+y,又0≤sin2θ≤1,∴2≤x≤3.【答案】 C2.圆x2+(y+1)2=2的参数方程为(  )A.(θ为参数)B.(θ为参数)C.(θ为参数)D.(θ为参数)【解析】 由x=cosθ,y+1=sinθ知参数方程为(θ为参数).故选D.【答案】 D[质疑·手记]预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1: 解惑: 疑问2: 解惑: 疑问3: 解惑: [小组合作型]普通方程化为参数方程 曲线的普通方程为+=1,写出它的参数方程.【思路探究】 

3、联想sin2θ+cos2θ=1可得参数方程.【自主解答】 设=cosθ,=sinθ,则(θ为参数),即为所求的参数方程.1.将圆的普通方程化为参数方程:(1)圆x2+y2=r2的参数方程为(θ为参数);(2)圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程为(θ为参数).2.普通方程化为参数方程关键是引入参数(例如x=f(t),再计算y=g(t)),并且要保证等价性.若不可避免地破坏了同解变形,则一定要通过x=f(t),y=g(t)调整t的取值范围,使得在普通方程转化为参数方程的过程中,x,y的取值范围保持一致.[再练一题]1.设y=tx(t为参数),则圆x2+y2-4y=0的参数方程是____

4、____.【解析】 把y=tx代入x2+y2-4y=0得x=,y=,∴参数方程为(t为参数).【答案】 (t为参数)利用参数思想解题 已知x、y满足x2+(y-1)2=1,求:(1)3x+4y的最大值和最小值;(2)(x-3)2+(y+3)2的最大值和最小值.【导学号:91060018】【思路探究】 设圆的参数方程,将问题转化为求三角函数的最大值和最小值问题来解决.【自主解答】 由圆的普通方程x2+(y-1)2=1得圆的参数方程为(θ∈[0,2π)).(1)3x+4y=3cosθ+4sinθ+4=4+5sin(θ+φ),其中tanφ=,且φ的终边过点(4,3).∵-5≤5sin(θ+φ)≤5

5、,∴-1≤4+5sin(θ+φ)≤9,∴3x+4y的最大值为9,最小值为-1.(2)(x-3)2+(y+3)2=(cosθ-3)2+(sinθ+4)2=26+8sinθ-6cosθ=26+10sin(θ+φ).其中tanφ=-,且φ的终边过点(4,-3).∵-10≤10sin(θ+φ)≤10,∴16≤26+10sin(θ+φ)≤36,所以(x-3)2+(y+3)2的最大值为36,最小值为16.1.参数思想是解决数学问题的重要思想,在参数方程中,参数(参变量)起着媒介作用,它是联系曲线上任意一点的横坐标与纵坐标的桥梁.通过参数θ,间接建立曲线上任意一点的坐标间的联系,拓宽了解题思路,简化了思维

6、过程.它是研究解析几何问题的重要工具.2.运用参数思想解题的关键在于参数的选择.选择参数时,应注意所选择的参数易于与两个坐标产生联系.由于三角函数的巨大作用,常选择角为参数,若轨迹与运动有关,常选择时间为参数.3.(1)解决与圆有关的最大值和最小值问题,常常设圆的参数方程,然后转化为求三角函数的最大值和最小值问题.(2)注意运用三角恒等式求最值:asinθ+bcosθ=sin(θ+φ).其中tanφ=(a≠0),且φ的终边过点(a,b).[再练一题]2.若本例条件不变,如何求的取值范围?【解】 由于(θ∈[0,2π)),∴k==,∴sinθ-kcosθ=k-3,即sin(θ+φ)=k-3(φ

7、由tanφ=-k确定),∴sin(θ+φ)=.依题意,得≤1,∴2≤1,解得k≥,即的取值范围是.[探究共研型]参数方程化为普通方程探究1 参数方程为什么要化为普通方程?【提示】 参数方程直接判断点的轨迹的曲线类型并不容易,如果将参数方程转化为熟悉的普通方程,就容易判断了.探究2 将参数方程化为普通方程时,常用的方法有哪些?【提示】 (1)代入法.先由一个方程中求出参数的表达式(用直角坐标变量表示),再代入另

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