高中数学 第2讲 参数方程 1.2 参数方程和普通方程的互化学案 新人教A版选修.doc

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1、第2课时　参数方程和普通方程的互化1．了解参数方程化为普通方程的意义．2．理解参数方程与普通方程的互相转化与应用．(难点)3．掌握参数方程化为普通方程的方法．(重点)[基础·初探]教材整理　参数方程和普通方程的互化阅读教材P24～P26，完成下列问题．1．曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．2．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使

2、x，y的取值范围保持一致．1．将参数方程(θ为参数)化为普通方程为(　　)A．y＝x－2B．y＝x＋2C．y＝x－2(2≤x≤3)D．y＝x＋2(0≤y≤1)【解析】　消去sin2θ，得x＝2＋y，又0≤sin2θ≤1，∴2≤x≤3.【答案】　C2．圆x2＋(y＋1)2＝2的参数方程为(　　)A.(θ为参数)B.(θ为参数)C.(θ为参数)D.(θ为参数)【解析】　由x＝cosθ，y＋1＝sinθ知参数方程为(θ为参数)．故选D.【答案】　D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　

3、疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]普通方程化为参数方程　曲线的普通方程为＋＝1，写出它的参数方程．【思路探究】　联想sin2θ＋cos2θ＝1可得参数方程．【自主解答】　设＝cosθ，＝sinθ，则(θ为参数)，即为所求的参数方程．1．将圆的普通方程化为参数方程：(1)圆x2＋y2＝r2的参数方程为(θ为参数)；(2)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为(θ为参数)．2．普通方程化为参数方程关键是引入参数(例如x＝f(t)，再计算y＝g(t))，并且要保证等价性．若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过

4、x＝f(t)，y＝g(t)调整t的取值范围，使得在普通方程转化为参数方程的过程中，x，y的取值范围保持一致．[再练一题]1．设y＝tx(t为参数)，则圆x2＋y2－4y＝0的参数方程是________．【解析】　把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0得x＝，y＝，∴参数方程为(t为参数)．【答案】　(t为参数)利用参数思想解题　已知x、y满足x2＋(y－1)2＝1，求：(1)3x＋4y的最大值和最小值；(2)(x－3)2＋(y＋3)2的最大值和最小值.【导学号：】【思路探究】　设圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值和最小值问

5、题来解决．【自主解答】　由圆的普通方程x2＋(y－1)2＝1得圆的参数方程为(θ∈[0,2π))．(1)3x＋4y＝3cosθ＋4sinθ＋4＝4＋5sin(θ＋φ)，其中tanφ＝，且φ的终边过点(4,3)．∵－5≤5sin(θ＋φ)≤5，∴－1≤4＋5sin(θ＋φ)≤9，∴3x＋4y的最大值为9，最小值为－1.(2)(x－3)2＋(y＋3)2＝(cosθ－3)2＋(sinθ＋4)2＝26＋8sinθ－6cosθ＝26＋10sin(θ＋φ)．其中tanφ＝－，且φ的终边过点(4，－3)．∵－10≤10sin(θ＋φ)≤10，

6、∴16≤26＋10sin(θ＋φ)≤36，所以(x－3)2＋(y＋3)2的最大值为36，最小值为16.1．参数思想是解决数学问题的重要思想，在参数方程中，参数(参变量)起着媒介作用，它是联系曲线上任意一点的横坐标与纵坐标的桥梁．通过参数θ，间接建立曲线上任意一点的坐标间的联系，拓宽了解题思路，简化了思维过程．它是研究解析几何问题的重要工具．2．运用参数思想解题的关键在于参数的选择．选择参数时，应注意所选择的参数易于与两个坐标产生联系．由于三角函数的巨大作用，常选择角为参数，若轨迹与运动有关，常选择时间为参数．3．(1)解决与圆有

7、关的最大值和最小值问题，常常设圆的参数方程，然后转化为求三角函数的最大值和最小值问题．(2)注意运用三角恒等式求最值：asinθ＋bcosθ＝sin(θ＋φ)．其中tanφ＝(a≠0)，且φ的终边过点(a，b)．[再练一题]2．若本例条件不变，如何求的取值范围？【解】　由于(θ∈[0,2π))，∴k＝＝，∴sinθ－kcosθ＝k－3，即sin(θ＋φ)＝k－3(φ由tanφ＝－k确定)，∴sin(θ＋φ)＝.依题意，得≤1，∴2≤1，解得k≥，即的取值范围是.[探究共研型]参数方程化为普通方程探究1　参数方程为什么要化为普通方

8、程？【提示】　参数方程直接判断点的轨迹的曲线类型并不容易，如果将参数方程转化为熟悉的普通方程，就容易判断了．探究2　将参数方程化为普通方程时，常用的方法有哪些？【提示】　(1)代入法．先由一个方程中求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程．教科书