2017_18学年高中数学第二章2.2圆与圆的方程2.2.1圆的标准方程学案

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1、2.1　圆的标准方程1.掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程.(重点)2.能根据圆的标准方程求它的圆心和半径.(重点)3.掌握圆的标准方程在求最值和实际问题中的应用.(难点)[基础·初探]教材整理1　圆的标准方程阅读教材P80“例1”以上部分，完成下列问题.圆的图示圆的几何特征圆上任一点到圆心的距离等于定长圆的标准方程圆心为(a，b)，半径是r的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.特别地，当圆心在坐标原点时，有a＝b＝0，那么圆的方程为x2＋y2＝r2圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是(　　)A

2、.(x＋1)2＋(y－2)2＝9B.(x－1)2＋(y＋2)2＝3C.(x＋1)2＋(y－2)2＝3D.(x－1)2＋(y＋2)2＝9【解析】　由圆的标准方程可得，所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.【答案】　D教材整理2　点与圆的位置关系阅读教材P80“例1”以下至P81“练习”以上部分，完成下列问题.1.中点坐标公式：A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点坐标为.2.点与圆的位置关系：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则点P在圆O外⇔d>r；点P在圆O上⇔d＝r；点P在圆O内⇔d

3、1)在圆(x－1)2＋(y＋1)2＝r2上，则圆的半径r＝______.【解析】　由于点(1,1)在圆上，所以(1－1)2＋(1＋1)2＝r2，即r＝2.【答案】　2[小组合作型]直接法求圆的标准方程　求满足下列条件的圆的标准方程.(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)；(2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径；(3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2).【精彩点拨】　首先确定圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.【自主解答】　(1)由两点间距离公式得r＝＝，∴

4、所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41.(2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3).又

5、AB

6、＝＝2，∴半径r＝，∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)，半径r＝＝，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.直接法求圆的标准方程，就是根据题设条件，直接求圆心坐标和圆的半径这两个几何要素，然后将其代入标准方程.[再练一题]1.以圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9的圆心为圆心，且过原点的圆的标准方程为____________.【导学号：39292098

7、】【解析】　法一：由题意可知，圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9的圆心坐标为(－1,3)，所以所求圆的半径r＝＝，即所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝10.法二：由题意可设所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝r2.又该圆过点(0,0).故(0＋1)2＋(0－3)2＝r2，即r2＝10，所以所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝10.【答案】　(x＋1)2＋(y－3)2＝10点与圆的位置关系　判断点P(2,0)与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝3的位置关系.【精彩点拨】　解答本题可以利用点P(2

8、,0)到圆心的距离与半径比较大小，也可直接代入(x－2)2＋(y＋1)2与3比较大小.【自主解答】　法一：∵P(2,0)与圆心(2，－1)的距离d＝＝1，圆的半径r＝，∴d＜r，∴点P在圆的内部.法二：∵点P(2,0)满足(2－2)2＋(0＋1)2＝1＜3，∴点P在圆的内部.判断点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系有几何法与代数法两种.对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小；对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程.具体判断方法如下：①当(x0－a)2＋(y0－b)2＜r

9、2时，点在圆内；②当(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2时，点在圆上；③当(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2时，点在圆外.[再练一题]2.已知点A(1,2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围.【解】　由题意，点A在圆C上或圆C的外部，∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，∴2a＋5≥0，∴a≥－，又a≠0，∴a的取值范围是∪(0，＋∞).[探究共研型]用待定系数法求圆的标准方程探究1　已知直线l与圆C相交于点P(1,0)和点Q(0,1)，你能求出圆心所在的直线方程吗？【提示】　PQ

10、的方程为x＋y－1＝0，PQ中点M，kPQ＝－1，所以圆心所在的直线方程为y＝x.探究2　上述问题中，若圆C的半径为1，请求出圆C的方程.【提示】　由条件设圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝1.由圆过P，Q点得解得或所以圆C方程为：x2＋y2＝1或(x－1)2＋(y－1)2＝1.　已知圆过两点A(3,1)、B(－1,3)，且