2017_18学年高中数学第二章2.2圆与圆的方程学案

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1、第1课时 圆的标准方程[核心必知]1.圆的定义平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆,定点就是圆心,定长就是半径.2.圆的标准方程(1)圆心为(a,b),半径是r,圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.(2)当圆心在原点时,圆的方程为x2+y2=r2.3.中点坐标A(x1,y1),B(x2,y2)的中点坐标为.[问题思考]1.若圆的标准方程为(x+a)2+(y+b)2=t2(t≠0),那么圆心坐标是什么?半径呢?提示:圆心坐标为(-a,-b),半径为

2、t

3、.2.由圆的标准方程可以得到圆的哪些几何特征?提

4、示:由圆的标准方程可以直接得到圆的圆心坐标和半径. 讲一讲1.写出下列各圆的标准方程.(1)圆心在原点,半径为8;(2)圆心在(2,3),半径为2;(3)圆心在(2,-1)且过原点.[尝试解答] 设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.(1)∵圆心在原点,半径为8,即a=0,b=0,r=8,∴圆的方程为x2+y2=64.(2)∵圆心为(2,3),半径为2,即a=2,b=3,r=2,∴圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=4.(3)∵圆心在(2,-1)且过原点,∴a=2,b=-1,r==.∴圆的方程为(x-2)

5、2+(y+1)2=5.直接法求圆的标准方程,关键是确定圆心坐标与半径,结合圆的几何性质可简化计算过程.练一练1.求满足下列条件的圆的标准方程.(1)圆心为(2,-2),且过点(6,3);(2)过点A(-4,-5),B(6,-1)且以线段AB为直径;(3)圆心在直线x=2上且与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2).解:(1)由两点间距离公式,得r==,∴所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+2)2=41.(2)圆心即为线段AB的中点,为(1,-3).又

6、AB

7、==2,∴半径r=.∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(

8、y+3)2=29.(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2,-3),半径r==,∴圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=5. 讲一讲2.已知两点P1(3,6),P2(-1,2),求以线段P1P2为直径的圆的方程,并判断点M(2,2),N(5,0),Q(3,2)在圆上,在圆内,还是在圆外?[尝试解答] 由已知得圆心坐标为C(1,4),圆的半径r=

9、P1P2

10、==2.∴所求圆的方程为(x-1)2+(y-4)2=8.∵(2-1)2+(2-4)2=5<8,(5-1)2+(0-4)2=32>8,(3-1)2+(2-4)2=8,∴点M在

11、圆内,点N在圆外,点Q在圆上.判定点M(x0,y0)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系,即比较

12、MC

13、与r的关系:若点M在圆C上,则有(x0-a)2+(y0-b)2=r2;若点M在圆C外,则有(x0-a)2+(y0-b)2>r2;若点M在圆C内,则有(x0-a)2+(y0-b)2<r2.练一练2.已知点A(1,2)在圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2的内部,求实数a的取值范围.解:∵点A在圆内部,∴(1-a)2+(2+a)2<2a2,∴2a+5<0,∴a<-,∴a的取值范围是.讲一讲3.求圆心在

14、直线l:2x-y-3=0上,且过点A(5,2)和点B(3,-2)的圆的方程.[尝试解答] 法一:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则解得∴圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.法二:∵圆过A(5,2),B(3,-2)两点,∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上,线段AB的垂直平分线方程为y=-(x-4),由解得即圆心C的坐标为(2,1).∴r=

15、CA

16、==.∴所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤:(1)设出圆的标准方程.(2)根据条件得关于a,b,r的方程组,

17、并解方程组得a,b,r的值.(3)代入标准方程,得出结果.练一练3.求圆心在直线5x-3y=8上,且圆与两坐标轴都相切的圆的方程.解:设所求圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.∵圆与两坐标轴相切,∴圆心满足a-b=0或a+b=0,又圆心在直线5x-3y=8上,∴5a-3b=8.解方程组或得或∴圆心坐标为(4,4)或(1,-1).∴可得半径r=

18、a

19、=4或r=

20、a

21、=1.∴所求圆方程为(x-4)2+(y-4)2=16或(x-1)2+(y+1)2=1.已知实数x,y满足(x-2)2+y2=3,求x2+y2的最大值和最

22、小值.[巧思] x2+y2可以看成圆(x-2)2+y2=3上的点到原点的距离的平方.[妙解] 方程(x-2)2+y2=3表示以(2,0)为圆心,为半径的圆,x2+y2表示圆上的点到原点距离的平方,由平面几何知识知在原点与圆心连线与圆的两个交点处分别取得最大值和最小值,又圆心到原点的距离为2,半径为,故(x2+y2)m

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