2017_18学年高中数学第二章参数方程2.2.2圆的参数方程学案

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1、2．2.2　圆的参数方程[读教材·填要点]如图，质点以匀角速度ω做圆周运动，圆心在原点，半径为R，记t为时间，运动开始时t＝0，质点位于点A处，在时刻t，质点位于点M(x，y)处，θ＝ωt，θ为Ox轴正向到向径所成的角，则圆的参数方程为(t≥0)，也可写成(0≤θ≤2π)．若圆心在点M0(x0，y0)处，半径为R，则圆的参数方程为(0≤θ≤2π)．[小问题·大思维]1．方程(0≤θ≤2π)是以坐标原点为圆心，以R为半径的圆的参数方程，能否直接由圆的普通方程转化得出？提示：以坐标原点为圆心，以R为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝R2，即2

2、＋2＝1.令则2．参数方程(0≤θ≤π)表示什么曲线？提示：表示圆心为(0,1)，半径为2的圆的上半部分即半圆(包括端点)．求圆的参数方程[例1]　点M在圆(x－r)2＋y2＝r2(r>0)上，O为原点，x轴的正半轴绕原点旋转到OM形成的角为φ.以φ为参数，求圆的参数方程．[思路点拨]　本题考查圆的参数方程的求法．解答此题需要借助图形分析圆上点M(x，7y)的坐标与φ之间的关系，然后写出参数方程．[精解详析]　如图，设圆心为O′，连接O′M.①当M在x轴上方时，∠MO′x＝2φ.∴②当M在x轴下方时，∠MO′x＝2φ，∴即③当M在x轴上

3、时，对应φ＝0或φ＝±.综上得圆的参数方程为－≤φ≤.(1)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示的曲线却可以是相同的．另外在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围．(2)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题如果把参数方程写成φ的意义就改变了．1．设y＝tx(t为参数)，则圆x2＋y2－4y＝0的参数方程是________．解析：把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0，得x＝，y＝，∴参数

4、方程为答案：7圆的参数方程的应用[例2]　(福建高考)已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)．(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．[思路点拨]　(1)化参数方程为普通方程．(2)利用圆心到直线的距离d≤4可求．[精解详析]　(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，圆C的普通方程为x2＋y2＝16.(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，解得－2≤a≤2.解决此类问题的关键是化圆的参数方程为普通方程后再求解．2.设点M(x，y)在圆x2

5、＋y2＝1上移动，求点Q(x(x＋y)，y(x＋y))的轨迹的参数方程．解：设M(cosθ，sinθ)(0≤θ＜2π)，点Q(x1，y1)，则0≤θ≤2π，即为所求的参数方程．[例3]　已知点P(x，y)是圆0≤θ≤2π上的动点．(1)求x＋y的取值范围；(2)若x＋y＋a≥0恒成立，求实数a的取值范围．[思路点拨]　本题考查圆的参数方程的求法及不等式的恒成立问题．解决本题需要正确求出圆x2＋y2＝2y的参数方程，然后利用参数方程求解．[精解详析]　(1)∵P在圆上，∴x＋y＝cosθ＋sinθ＋1＝2sin(θ＋)＋1.∴－2＋1≤x

6、＋y≤2＋1，即x＋y的取值范围为7[－1,3]．(2)x＋y＋a＝cosθ＋sinθ＋1＋a≥0，∴a≥－(cosθ＋sinθ)－1.又－(cosθ＋sinθ)－1＝－sin(θ＋)－1≤－1，∴a≥－1，即a的取值范围为[－1，＋∞)．(1)解决此类问题的关键是根据圆的参数方程写出点的坐标，并正确确定参数的取值范围．(2)利用圆的参数方程求参数或代数式的取值范围的实质是利用正、余弦函数的有界性．3．将参数方程(0≤θ≤2π)转化为直角坐标方程是________________，该曲线上的点与定点A(－1，－1)的距离的最小值为___

7、_____．解析：易得直角坐标方程是(x－1)2＋y2＝1，所求距离的最小值应为圆心到点A的距离减去半径，易求得为－1.答案：(x－1)2＋y2＝1　－1一、选择题1．圆的参数方程为0≤θ≤2π.则圆的圆心坐标为(　　)A．(0,2)　　　　　　　　　B．(0，－2)C．(－2,0)D．(2,0)解析：选D　圆的普通方程为(x－2)2＋y2＝4.故圆心坐标为(2,0)．2．若直线2x－y－3＋c＝0与曲线(0≤θ≤2π)相切，则实数c等于(　　)A．2或－8B．6或－4C．－2或8D．4或－6解析：选C　将曲线(0≤θ≤2π)化为普通方

8、程为x2＋y2＝5，由直线2x－y－3＋7c＝0与圆x2＋y2＝5相切，可知＝，解得c＝－2或8.3．P(x，y)是曲线0≤α≤2π上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为(　　)A．36B．6C