2017_18学年高中数学第二章参数方程2.2圆的参数方程2.3椭圆的参数方程2.4双曲线的参数方程学案

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1、2.2圆的参数方程2.3椭圆的参数方程2.4双曲线的参数方程[对应学生用书P24]1．有向线段的数量如果P，M是l上的两点，P到M的方向与直线的正方向一致，那么PM取正值，否则取负值．我们称这个数值为有向线段的数量．2．直线参数方程的两种形式(1)经过点P(x0，y0)、倾斜角是α的直线的参数方程为：(t为参数)．其中M(x，y)为直线上的任意一点，参数t的几何意义是从点P到M的位移，可以用有向线段的数量来表示．(2)经过两个定点Q(x1，y1)，P(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的参数方程为(λ为参数，λ≠－1)．其中M(x，y)为直线上的任意一点，参数λ的几何意义是：动点M分有

2、向线段的数量比.①当λ>0时，M为内分点；②当λ<0且λ≠－1时，M为外分点；③当λ＝0时，点M与Q重合．1．如何引入参数求过定点P(x0，y0)且与平面向量a＝(a，b)平行的直线的参数方程？提示：在直线l上任取一点M(x，y)，因为∥a，由两向量共线的充要条件以及＝(x－x0，y－y0)，可得＝，设这个比值为t，即：＝＝t，则有：(t∈R)．2．问题1中得到的参数方程中参数何时与(t∈R)中参数t具有相同的几何意义？提示：当a2＋b2＝1时．9[对应学生用书P24]直线参数方程的确定[例1]　已知直线l过(3,4)，且它的倾斜角θ＝120°.(1)写出直线l的参数方程；(2)求直线l

3、与直线x－y＋1＝0的交点．[思路点拨]　本题考查如何根据已知条件确定直线的参数方程及运算求解能力，解答此题需要将条件代入得到直线的参数方程，然后与x－y＋1＝0联立可求得交点．[精解详析]　(1)直线l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)．(2)把代入x－y＋1＝0，得3－t－4－t＋1＝0，得t＝0.把t＝0代入得两直线的交点为(3,4)．1．已知直线经过的定点与其倾斜角，求参数方程利用(t为参数)．2．已知直线过两点，求参数方程利用3．已知直线经过的定点与其方向向量a＝(a，b)(或斜率)，则其参数方程可为：(t为参数)．1．已知两点A(1,3)，B(3,1)和直线l：y＝x，

4、求过点A，B的直线的参数方程，并求它与直线l的交点M分AB的比．解：设直线AB与l的交点M(x，y)，且＝λ，则直线AB的参数方程为(λ为参数且λ≠－1)．①把①代入y＝x得＝，得λ＝1，所以点M分AB的比为1∶1.利用直线参数方程中参数的几何意义解决距离问题9[例2]　写出经过点M0(－2,3)，倾斜角为的直线l的参数方程，并且求出直线l上与点M0相距为2的点的坐标．[思路点拨]　本题考查直线参数方程(t为参数)的应用，特别是参数几何意义的应用．解答此题需先求出直线上与点M0相距为2的点对应的参数t，然后代入参数方程求此点的坐标．[精解详析]　直线l的参数方程为(t为参数)．①设直线l

5、上与已知点M0相距为2的点为M点，M点对应的参数为t，则

6、M0M

7、＝

8、t

9、＝2，∴t＝±2.将t的值代入①式：当t＝2时，M点在M0点上方，其坐标为(－2－，3＋)；当t＝－2时，M点在M0点下方，其坐标为(－2＋，3－)．1．过定点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)，

10、t

11、的几何意义是有向线段的长度，即P与M间的距离．2．过定点M0(x0，y0)，斜率为的直线的参数方程是(a，b为常数，t为参数)．当a2＋b2＝1时，

12、t

13、的几何意义是有向线段的长度，当a2＋b2≠1时，

14、t

15、的几何意义是的长度的.2．过点A(1，－5)的直线l1的参数方程为(t为参数)，它与方

16、程为x－y－2＝0的直线l2相交于一点P，求点A与点P之间的距离．解：将直线l1的参数方程化为(t为参数)．2＋2＝1且＞0，令t′＝2t，则将t′代入上述方程得直线l1的参数方程的标准式为(t′为参数)．代入x－y－2＝0得－－2＝0，解得t′＝4，9∴

17、AP

18、＝

19、t′

20、＝4.直线与圆锥曲线的位置关系[例3]　已知直线l过点P(1,0)，倾斜角为，直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，设线段AB的中点为M.(1)求P，M两点间的距离；(2)求线段AB的长

21、AB

22、.[思路点拨]　本题考查直线的参数方程在解决直线与圆锥曲线相交中的中点、弦长等问题中的应用，解答此题需要求出直线的形如(t为

23、参数)的方程，然后利用参数的几何意义求解．[精解详析]　(1)∵直线l过点P(1,0)，倾斜角为，cosα＝，sinα＝.∴直线l的参数方程为(t为参数)．①∵直线l和椭圆相交，将直线的参数方程代入椭圆方程并整理得5t2＋2t－4＝0，Δ＝4＋4×5×4>0.设这个二次方程的两个实根为t1，t2.由根与系数的关系得：t1＋t2＝－，t1t2＝－，由M为AB的中点，根据t的几何意义，得

24、PM

25、＝

26、

27、＝.(2)

28、AB

29、＝

30、t2－t1

31、＝