2017_18学年高中数学第二章平面解析几何初步2.3.1圆的标准方程学案

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1、2.3.1　圆的标准方程[学习目标]　1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点.2.会根据已知条件求圆的标准方程.3.能准确判断点与圆的位置关系.[知识链接]1.平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆.2.确定一个圆的基本要素是圆心和半径.3.平面上两点间的距离公式d＝.[预习导引]1.圆的定义及圆的标准方程(1)圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.定点→圆的圆心；定长→圆的半径.(2)圆的标准方程设圆的圆心是C(a，b)，半径为r，则圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，当圆的圆心

2、在坐标原点时，圆的半径为r，则圆的标准方程是x2＋y2＝r2.2.点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法：(1)将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较：若

3、CM

4、＝r，则点M在圆上；若

5、CM

6、＞r，则点M在圆外；若

7、CM

8、＜r，则点M在圆内.(2)可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定：点M(m，n)在圆C上⇔(m－a)2＋(n－b)2＝r2；点M(m，n)在圆C外⇔(m－a)2＋(n－b)2＞r2；点M(m，n)在圆C内⇔(m－a)2＋(n

9、－b)2＜r2.要点一　点与圆的位置关系4例1　已知点A(1,2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围.解　由题意，点A在圆C上或圆C的外部，∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，∴2a＋5≥0，∴a≥－，又a≠0，∴a的取值范围是∪(0，＋∞).规律方法　判断点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系有几何法与代数法两种，对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小.对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程，具体判断方法如下：①当(x0－a)2＋(y0

10、－b)2r2时，点在圆外.跟踪演练1　点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)A.在圆外B.在圆内C.在圆上D.不确定答案　A解析　把点P(m2,5)代入圆的方程x2＋y2＝24得m4＋25>24，故点P在圆外.要点二　求圆的标准方程例2　求过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程.解　方法一　设点C为圆心，∵点C在直线x＋y－2＝0上，∴可设点C的坐标为(a,2

11、－a).又∵该圆经过A，B两点，∴

12、CA

13、＝

14、CB

15、.∴＝，解得a＝1.∴圆心坐标为C(1,1)，半径长r＝

16、CA

17、＝2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.方法二　由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB＝＝－1，所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x.则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点，由得即圆心为(1,1)，圆的半径为＝2，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.规律方法　直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个

18、要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.4跟踪演练2　以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是(　　)A.(x－1)2＋(y－2)2＝10B.(x－1)2＋(y－2)2＝100C.(x－1)2＋(y－2)2＝5D.(x－1)2＋(y－2)2＝25答案　D解析　∵点A(－3，－1)和B(5,5)的中点坐标为(1,2)，∴以A、B为直径的圆的圆心坐标为(1,2)，半径r＝＝5.∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.要点三　圆的方程的综合应用例3　已知圆心在x轴上的圆C与x轴交

19、于两点A(1,0)，B(5,0)，(1)求此圆的标准方程；(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值.解　(1)由已知，得C(3,0)，r＝＝2，∴所求方程为(x－3)2＋y2＝4.(2)圆心C到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝2.∴P到直线的最大距离为2＋2，最小距离为2－2.规律方法　解答本题应用了圆的性质，即圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，解题过程中用数形结合的思想能有效地找到解题的捷径，即过圆心作已知直线的垂线，便于求解此题.跟踪演练3　已知圆C：(x－3)2＋

20、(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d＝

21、PA

22、2＋

23、PB

24、2，求d的最大值及最小值.解　设P(x，y)，则d＝

25、PA

26、2＋

27、PB

28、2＝2(x2＋y2)＋2.∵

29、CO

30、2＝52＝25，∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2.即16≤x2＋y2≤36.∴d的最小值为2