2017_18学年高中数学第二章平面解析几何初步2.3.2圆的一般方程学案

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1、2.3.2　圆的一般方程[学习目标]　1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径.2.会在不同条件下求圆的一般式方程.[知识链接]1.圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，它的圆心坐标为(a，b)，半径为r.2.点与圆的位置关系有点在圆外、点在圆上、点在圆内，可以利用代数法与几何法进行判断.[预习导引]1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方得：2＋2＝.(1)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点，该点的坐标为；(2)当D2＋E2－4F<0时，方程不表示任何图形；(3)当D2＋E2－4F>0时，方程表示的曲线为圆，它的圆

2、心坐标为，半径等于，上述方程称为圆的一般方程.2.比较二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0和圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，可以得出以下结论：当二元二次方程具有条件：(1)x2和y2的系数相同，且不等于0，即A＝C≠0；(2)没有xy项，即B＝0；(3)D2＋E2－4AF>0时，它才表示圆.要点一　圆的一般方程的概念例1　下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径.(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(4)2x2＋2y2－5x＝0.5解　(

3、1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，∴它不能表示圆.(2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项.∴它不能表示圆.(3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，∴它不能表示圆.(4)方程2x2＋2y2－5x＝0化为2＋y2＝2，∴它表示以为圆心，为半径长的圆.规律方法　二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，应满足的条件是：①A＝C≠0，②B＝0，③D2＋E2－4AF>0.跟踪演练1　如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的范围是____

4、____.答案　解析　由题意可知(－2)2＋12－4k>0，即k<.要点二　求圆的一般方程例2　已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径.解　方法一　设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵A，B，C在圆上，∴∴∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.方法二　设△ABC的外接圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∵A、B、C在圆上，∴解得即外接圆的圆心为(1，－

5、1)，半径为5，∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25，展开易得其一般方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0.方法三　∵kAB＝＝，kAC＝＝－3，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.5∴△ABC是以角A为直角的直角三角形.∴圆心是线段BC的中点，坐标为(1，－1)，r＝

6、BC

7、＝5.∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25.展开得一般方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0.规律方法　应用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a

8、，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.跟踪演练2　已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求三角形ABC的外接圆的方程.解　设三角形ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意得解得即三角形ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.要点三　求动点的轨迹方程例3　等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？解　设另一端点C的坐标为(x，y).依题意，得

9、AC

10、＝

11、AB

12、.由两点间距离公

13、式，得＝，整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10.这是以点A(4,2)为圆心，以为半径的圆，如图所示，又因为A、B、C为三角形的三个顶点，所以A、B、C三点不共线.即点B、C不能重合且B、C不能为圆A的一直径的两个端点.因为点B、C不能重合，所以点C不能为(3,5).又因为点B、C不能为一直径的两个端点，所以≠4，且≠2，即点C不能为(5，－1).故端点C的轨迹方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))，它的轨迹是以点A(4,2)为圆心，5为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点.规律方法　求与圆有关的轨迹问题常用

14、的方法.①直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式.②定