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《2017_18学年高中数学第二章平面解析几何初步2.2.1直线方程的概念与直线的斜率学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率[学习目标] 1.了解直线的方程、方程的直线的概念.2.理解直线的倾斜角、斜率,掌握过两点的直线的斜率公式.3.体会用斜率和倾斜角刻划直线的倾斜程度,并掌握它们之间的关系.[预习导引]1.直线的方程的概念一般地,如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上,且这条直线上点的坐标都是这个方程的解,那么这个方程叫做这条直线的方程；这条直线叫做这个方程的直线.2.直线的斜率(1)通常把直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的斜率.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
2、为直线l上任意两点,且x1≠x2,则直线l的斜率为k＝.3.直线的倾斜角(1)x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角.规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.(2)由斜率k的定义可知①当k＝0时,直线平行于x轴或与x轴重合；②当k>0时,直线的倾斜角为锐角,k值增大,直线的倾斜角也随着增大；③当k<0时,直线的倾斜角为钝角,k值增大,直线的倾斜角也随着增大；④垂直于x轴的直线的倾斜角等于90°.要点一 直线的倾斜角例1 设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向
3、旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角为( )A.α＋45°B.α－135°C.135°－αD.当0°≤α<135°时,倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时,倾斜角为α－135°答案 D6解析 根据题意,画出图形,如图所示：因为0°≤α<180°,显然A,B,C未分类讨论,均不全面,不合题意.通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°时,l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时,l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.规律方法 1.解答本题要注意根据倾斜
4、角的概念及倾斜角的取值范围解答.2.求直线的倾斜角主要根据定义来求,其关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要根据情况分类讨论.跟踪演练1 一条直线l与x轴相交,其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°),则其倾斜角为( )A.αB.180°－αC.180°－α或90°－αD.90°＋α或90°－α答案 D解析 如图,当l向上方向的部分在y轴左侧时,倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时,倾斜角为90°－α.故选D.要点二 直线的斜率例2 已知直线l过P(－2,－1),且与
5、以A(－4,2),B(1,3)为端点的线段相交,求直线l的斜率的取值范围.解 根据题中的条件可画出图形,如图所示,又可得直线PA的斜率kPA＝－,直线PB的斜率kPB＝,结合图形可知当直线l由PB变化到与y6轴平行的位置时,它的倾斜角逐渐增大到90°,故斜率的取值范围为,当直线l由与y轴平行的位置变化到PA位置时,它的倾斜角由90°增大到PA的倾斜角,故斜率的变化范围是.综上可知,直线l的斜率的取值范围是∪.规律方法 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tanα(α≠90°)解决.(2
6、)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解.(3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解.跟踪演练2 已知两点A(－3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.解 如图所示,由题意可知kPA＝＝－1,kPB＝＝1.(1)要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1,或k≥1.(2)由题意可知,直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间,又PB的倾斜角是45°,PA的
7、倾斜角是135°,所以α的取值范围是45°≤α≤135°.要点三 斜率公式的应用例3 已知实数x,y满足y＝－2x＋8,且2≤x≤3,求的最大值和最小值.解 如图所示,由于点(x,y)满足关系式2x＋y＝8,且2≤x≤3,可知点P(x,y)在线段AB上移动,并且A,B两点的坐标可分别求得为A(2,4),B(3,2).6由于的几何意义是直线OP的斜率,且kOA＝2,kOB＝,所以可求得的最大值为2,最小值为.规律方法 若所求最值或范围的式子可化为的形式,则联想其几何意义,利用图形数形结合来求解.跟踪演练3
8、 已知实数x,y满足y＝x2－x＋2(－1≤x≤1),试求的最大值和最小值.解 由的几何意义可知,它表示经过定点P(－2,－3)与曲线段AB上任一点(x,y)的直线的斜率k,由图可知kPA≤k≤kPB,由已知可得A(1,2),B(－1,4).则kPA＝＝,kPB＝＝7.∴≤k≤7,∴的最大值为7,最小值为.1.下图中标注的α表示直线l的倾斜角的是( )6A.①B.①②C.①③D.②④答案 A解析 结合直线l的倾斜角的概念可知①可以,选A.
