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《2018版高中数学 圆与方程4.14.1.1圆的标准方程学案新人教a版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、4.1.1 圆的标准方程目标定位 1.探索并掌握圆的标准方程的特点,会根据圆的方程求出圆心坐标和半径.2.会根据已知条件求圆的标准方程.3.会用待定系数法求圆的方程.自主预习1.圆的定义及圆的标准方程(1)圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.其中定点是圆的圆心;定长是圆的半径.(2)圆的标准方程2.点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系,即点在圆外、点在圆上、点在圆内,判断点与圆的位置关系有两种方法:(1)几何法:将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较:若
2、CM
3、=r,则点M在圆上;若
4、CM
5、>r,则点M在圆外;若
6、CM
7、8、-a)2+(y-b)2=r2来确定:点M(m,n)在圆C上⇔(m-a)2+(n-b)2=r2;点M(m,n)在圆C外⇔(m-a)2+(n-b)2>r2;点M(m,n)在圆C内⇔(m-a)2+(n-b)29、 )A.1B.C.2D.4答案 B3.已知圆C:(x-1)2+(y+2)2=4,点P(x0,y0)在圆C内部,且d=(x0-1)2+(y0+2)2,则有( )A.d>2B.d<2C.d>4D.d<4解析 点P(x0,y0)在圆C内部可知,(x0-1)2+(y0+2)2<4,所以d<4.答案 D4.给出以下五个点的坐标:①(1,1),②(2,1),③(0,0),④(,),⑤(2,0).以上各点在圆(x-1)2+(y-1)2=2上的是________.(写出所有可能的序号)解析 分别将五个点的坐标代入圆的方程检验可知③⑤适合圆的方程.答案 ③⑤类型一 点与圆的位置关系【例1】已知点A(1,2)不10、在圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2的内部,求实数a的取值范围.解 由题意,点A在圆C上或圆C的外部,∴(1-a)2+(2+a)2≥2a2,∴2a+5≥0,∴a≥-,又a≠0,∴a的取值范围是∪(0,+∞).规律方法 判断点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有几何法与代数法两种,对于几何法,主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小.对于代数法,主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程,具体判断方法如下:①当(x0-a)2+(y0-b)2r2时,点在圆外.【训11、练1】点P(m2,5)与圆x2+y2=24的位置关系是( )A.在圆外B.在圆内C.在圆上D.不确定解析 把点P(m2,5)代入圆的方程x2+y2=24得m4+25>24,故点P在圆外.答案 A类型二 求圆的标准方程(互动探究)【例2】求过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的标准方程.[思路探究]探究点一 如何确定该圆圆心?提示 由已知该圆圆心为线段AB的垂直平分线与直线x+y-2=0的交点,可通过解方程组求出圆心坐标.探究点二 待定系数法求圆的标准方程的一般步骤是什么?提示 (1)根据题意,设出标准方程;(2)根据条件,列关于a,b,r的方程组;(3)解出a,12、b,r,代入标准方程.解 法一 设点C为圆心,∵点C在直线x+y-2=0上,∴可设点C的坐标为(a,2-a).又∵该圆经过A,B两点,∴13、CA14、=15、CB16、.∴=,解得a=1.∴圆心坐标为C(1,1),半径长r=17、CA18、=2.故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.法二 由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0),kAB==-1,所以弦AB的垂直平分线的斜率为k=1,所以AB的垂直平分线的方程为y-0=1·(x-0),即y=x.则圆心是直线y=x与x+y-2=0的交点,由得即圆心为(1,1),圆的半径为=2,故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.规律方法 直接法求圆的标准19、方程时,一般先从确定圆的两个要素入手,即首先求出圆心坐标和半径,然后直接写出圆的标准方程.【训练2】以两点A(-3,-1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( )A.(x-1)2+(y-2)2=10B.(x-1)2+(y-2)2=100C.(x-1)2+(y-2)2=5D.(x-1)2+(y-2)2=25解析 ∵点A(-3,-1)和B(5,5)的中点坐标为(1,2),∴以A、B为直径的圆的圆心
8、-a)2+(y-b)2=r2来确定:点M(m,n)在圆C上⇔(m-a)2+(n-b)2=r2;点M(m,n)在圆C外⇔(m-a)2+(n-b)2>r2;点M(m,n)在圆C内⇔(m-a)2+(n-b)29、 )A.1B.C.2D.4答案 B3.已知圆C:(x-1)2+(y+2)2=4,点P(x0,y0)在圆C内部,且d=(x0-1)2+(y0+2)2,则有( )A.d>2B.d<2C.d>4D.d<4解析 点P(x0,y0)在圆C内部可知,(x0-1)2+(y0+2)2<4,所以d<4.答案 D4.给出以下五个点的坐标:①(1,1),②(2,1),③(0,0),④(,),⑤(2,0).以上各点在圆(x-1)2+(y-1)2=2上的是________.(写出所有可能的序号)解析 分别将五个点的坐标代入圆的方程检验可知③⑤适合圆的方程.答案 ③⑤类型一 点与圆的位置关系【例1】已知点A(1,2)不10、在圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2的内部,求实数a的取值范围.解 由题意,点A在圆C上或圆C的外部,∴(1-a)2+(2+a)2≥2a2,∴2a+5≥0,∴a≥-,又a≠0,∴a的取值范围是∪(0,+∞).规律方法 判断点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有几何法与代数法两种,对于几何法,主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小.对于代数法,主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程,具体判断方法如下:①当(x0-a)2+(y0-b)2r2时,点在圆外.【训11、练1】点P(m2,5)与圆x2+y2=24的位置关系是( )A.在圆外B.在圆内C.在圆上D.不确定解析 把点P(m2,5)代入圆的方程x2+y2=24得m4+25>24,故点P在圆外.答案 A类型二 求圆的标准方程(互动探究)【例2】求过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的标准方程.[思路探究]探究点一 如何确定该圆圆心?提示 由已知该圆圆心为线段AB的垂直平分线与直线x+y-2=0的交点,可通过解方程组求出圆心坐标.探究点二 待定系数法求圆的标准方程的一般步骤是什么?提示 (1)根据题意,设出标准方程;(2)根据条件,列关于a,b,r的方程组;(3)解出a,12、b,r,代入标准方程.解 法一 设点C为圆心,∵点C在直线x+y-2=0上,∴可设点C的坐标为(a,2-a).又∵该圆经过A,B两点,∴13、CA14、=15、CB16、.∴=,解得a=1.∴圆心坐标为C(1,1),半径长r=17、CA18、=2.故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.法二 由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0),kAB==-1,所以弦AB的垂直平分线的斜率为k=1,所以AB的垂直平分线的方程为y-0=1·(x-0),即y=x.则圆心是直线y=x与x+y-2=0的交点,由得即圆心为(1,1),圆的半径为=2,故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.规律方法 直接法求圆的标准19、方程时,一般先从确定圆的两个要素入手,即首先求出圆心坐标和半径,然后直接写出圆的标准方程.【训练2】以两点A(-3,-1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( )A.(x-1)2+(y-2)2=10B.(x-1)2+(y-2)2=100C.(x-1)2+(y-2)2=5D.(x-1)2+(y-2)2=25解析 ∵点A(-3,-1)和B(5,5)的中点坐标为(1,2),∴以A、B为直径的圆的圆心
9、 )A.1B.C.2D.4答案 B3.已知圆C:(x-1)2+(y+2)2=4,点P(x0,y0)在圆C内部,且d=(x0-1)2+(y0+2)2,则有( )A.d>2B.d<2C.d>4D.d<4解析 点P(x0,y0)在圆C内部可知,(x0-1)2+(y0+2)2<4,所以d<4.答案 D4.给出以下五个点的坐标:①(1,1),②(2,1),③(0,0),④(,),⑤(2,0).以上各点在圆(x-1)2+(y-1)2=2上的是________.(写出所有可能的序号)解析 分别将五个点的坐标代入圆的方程检验可知③⑤适合圆的方程.答案 ③⑤类型一 点与圆的位置关系【例1】已知点A(1,2)不
10、在圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2的内部,求实数a的取值范围.解 由题意,点A在圆C上或圆C的外部,∴(1-a)2+(2+a)2≥2a2,∴2a+5≥0,∴a≥-,又a≠0,∴a的取值范围是∪(0,+∞).规律方法 判断点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有几何法与代数法两种,对于几何法,主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小.对于代数法,主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程,具体判断方法如下:①当(x0-a)2+(y0-b)2r2时,点在圆外.【训
11、练1】点P(m2,5)与圆x2+y2=24的位置关系是( )A.在圆外B.在圆内C.在圆上D.不确定解析 把点P(m2,5)代入圆的方程x2+y2=24得m4+25>24,故点P在圆外.答案 A类型二 求圆的标准方程(互动探究)【例2】求过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的标准方程.[思路探究]探究点一 如何确定该圆圆心?提示 由已知该圆圆心为线段AB的垂直平分线与直线x+y-2=0的交点,可通过解方程组求出圆心坐标.探究点二 待定系数法求圆的标准方程的一般步骤是什么?提示 (1)根据题意,设出标准方程;(2)根据条件,列关于a,b,r的方程组;(3)解出a,
12、b,r,代入标准方程.解 法一 设点C为圆心,∵点C在直线x+y-2=0上,∴可设点C的坐标为(a,2-a).又∵该圆经过A,B两点,∴
13、CA
14、=
15、CB
16、.∴=,解得a=1.∴圆心坐标为C(1,1),半径长r=
17、CA
18、=2.故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.法二 由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0),kAB==-1,所以弦AB的垂直平分线的斜率为k=1,所以AB的垂直平分线的方程为y-0=1·(x-0),即y=x.则圆心是直线y=x与x+y-2=0的交点,由得即圆心为(1,1),圆的半径为=2,故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.规律方法 直接法求圆的标准
19、方程时,一般先从确定圆的两个要素入手,即首先求出圆心坐标和半径,然后直接写出圆的标准方程.【训练2】以两点A(-3,-1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( )A.(x-1)2+(y-2)2=10B.(x-1)2+(y-2)2=100C.(x-1)2+(y-2)2=5D.(x-1)2+(y-2)2=25解析 ∵点A(-3,-1)和B(5,5)的中点坐标为(1,2),∴以A、B为直径的圆的圆心
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