2017_18学年高中数学第一章1.5平行关系1.5.2平行关系的性质学案北师大版必修

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1、5.2 平行关系的性质1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理的含义,会用性质定理证明空间线面关系的问题.(重点)2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理.(难点)3.综合应用平行关系的判定和性质定理进行线线平行、线面平行、面面平行的相互转化.(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 直线与平面平行的性质定理阅读教材P32“练习”以下至P33“例4”以上部分,完成下列问题.文字语言符号语言图形语言如果一条直线与一个平面平行,那么过该直线的任意一个

2、平面与已知平面的交线与该直线平行⇒a∥b如图1519所示,在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,EH∥FG,则EH与BD的位置关系是(  )图1519A.平行B.相交C.异面D.不确定【解析】 ∵EH∥FG,EH平面BCD,FG平面BCD,∴EH∥平面BCD,∵EH平面ABD,平面ABD∩平面BCD=BD,∴EH∥BD.【答案】 A教材整理2 面面平行的性质定理阅读教材P33“练习1”以下至P34“练习2”以上部分,完成下列问题.文字语言符号语言图形语言如果两

3、个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行⇒a∥b六棱柱的两底面为α和β,且A∈α,B∈α,C∈β,D∈β,且AD∥BC,则AB与CD的位置关系为__________.【解析】 ∵AD∥BC,∴A,B,C,D共面,设为γ,由题意知,α∩γ=AB,β∩γ=CD,又α∥β,∴AB∥CD.【答案】 平行[小组合作型]线面平行性质的应用 如图1520,在长方体ABCDA1B1C1D1中,E,H分别为棱A1B1,D1C1上的点,且EH∥A1D1,过EH的平面与棱BB1,CC1相交,交点分别为F,G

4、,求证:FG∥平面ADD1A1.【导学号:39292030】图1520【精彩点拨】 从图形上看,若我们能设法证明FG∥A1D1即可证明FG∥平面ADD1A1.【自主解答】 因为EH∥A1D1,A1D1∥B1C1,EH平面BCC1B1,B1C1平面BCC1B1,所以EH∥平面BCC1B1.又平面FGHE∩平面BCC1B1=FG,所以EH∥FG,即FG∥A1D1.又FG平面ADD1A1,A1D1平面ADD1A1,所以FG∥平面ADD1A1.1.直线与平面平行的性质定理,可以用来证明线线平行.2.运用

5、线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线的平面与这个平面的交线,然后确定线线平行.证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系.简记为“过直线,作平面,得交线,得平行”.[再练一题]1.如图1521所示,已知AB∥平面α,AC∥BD,且AC,BD与α分别相交于点C,D.图1521(1)求证:AC=BD;(2)满足什么条件时,四边形ABDC为正方形?【解】 (1)证明:如图所示,连接CD,∵AC∥BD,∴AC与BD确定一个平面β,又∵AB∥α,ABβ,α∩β=CD,∴AB∥C

6、D,∴四边形ABDC是平行四边形,∴AC=BD.(2)由(1)知ABDC为平行四边形,所以当AB=AC且AB⊥AC时,四边形ABDC为正方形.面面平行性质的应用 如图1522,已知α∥β,点P是平面α,β外的一点(不在α与β之间),直线PB,PD分别与α,β相交于点A,B和C,D.图1522(1)求证:AC∥BD;(2)已知PA=4cm,AB=5cm,PC=3cm,求PD的长.【精彩点拨】 由PB与PD相交于点P,可知PB,PD确定一个平面,结合α∥β,可使用面面平行的性质定理推出线线平行关系,

7、这样就转化为平面问题.【自主解答】 (1)证明:∵PB∩PD=P,∴直线PB和PD确定一个平面γ,则α∩γ=AC,β∩γ=BD.又α∥β,∴AC∥BD.(2)由(1),得AC∥BD,∴=,∴=,∴CD=(cm),∴PD=PC+CD=(cm).1.利用面面平行的性质定理证明线线平行的基本步骤:(1)先找两个平面,使这两个平面分别经过这两条直线中的一条;(2)判定这两个平面平行;(3)再找一个平面,使这两条直线都在这个平面上;(4)由定理得出结论.2.面面平行的性质定理的本质:化面面平行为线线平行是

8、面面平行性质定理的本质,而转化的关键是作辅助平面,通过作辅助平面得到交线,就可把面面平行转化为线线平行.[再练一题]2.已知α∥β,A,C∈α,B,D∈β,直线AB与CD交于点S,且SA=8,SB=9,CD=34,求当S在α,β之间时SC的长.【解】 如图所示.∵AB与CD相交于S,∴AB,CD可确定平面γ,且α∩γ=AC,β∩γ=BD.∵α∥β,∴AC∥BD,∴=,∴=,即=,解得SC=16.[探究共研型]平行关系的综合应用探究1 如图1523所示,已知P是▱ABCD所在平面外一点,M,N分别

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