1.5 平行关系 学案

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1、1.5平行关系学案【教学目标】掌握空间元素的平行关系的判定与性质的有关知识，并能运用这些知识解决与平行有关的问题。【教学重点】空间线线、线面、面面平行关系的转化。【教学难点】线面平行的各种判定方法。【教学过程】一.课前预习1．（05北京）在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）。A．BC//平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC2．(05湖北)如图，在三棱柱中，点E、F、H、K分别为、、、的中点，G为ΔABC的重心从K、H、G、中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PE

2、F平行，则P为()。A．KB．HC．GD．3．（05广东）给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：①若；②若m、l是异面直线，；③若；④若其中为假命题的是（）。A．①B．②C．③D．④4．（05辽宁）已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若；②若；③若；④若m、n是异面直线，其中真命题是（）。A．①和②B．①和③C．③和④D．①和④5.如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只须满足

3、时，就有MN//平面B1BDD1（请填出你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能情况）。二、梳理知识立体几何中的核心内容是空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，实质上是不同层次的平行，垂直关系的相互转化，任何一个问题的解决，都是从已知的某些位置关系转化为所要求证的位置关系，解决问题的过程就是寻求或创造条件完成这些转化。其中直线与平面的平行是联系直线与直线平行，平面与平面平行的纽带，同时也是立体几何中某些角，距离转化的依据；1.线与线、线与面、面与面的位置关系，及其判定定理2.重要判定定理(1)平面外的直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行

4、(线面平行判定定理)(2)平面内两条直交直线与另一个平面平行，则这两个平面互相平行(面面平行判定定理)3.证明直线与平面平行的方法有：依定义采用反证法；判定定理；面面平行的性质定理。三、典型例题例1．如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点。（1）求证：PB//平面EAC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）若AD=AB，试求二面角A－PC－D的正切值；（4）当为何值时，PB⊥AC？例2．（05天津）如图，在斜三棱柱中，，侧面与底面ABC所成的二面角为，E、F分别是棱的中点（Ⅰ）求与底面ABC所成的角（

5、Ⅱ）证明∥平面（Ⅲ）求经过四点的球的体积例3.如图1，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N分别为A1D1，A1B1，BC，CD，DA，DE，CL的中点。（1）求证：EF⊥GF；（2）求证：MN∥平面EFGH；（3）若AB=2，求MN到平面EFGH的距离。参考答案：一.课前预习:1C2C3C4D，5点M只须满足在直线EH上时，三、典型例题例1．（1）证明：连DB，设，则在矩形ABCD中，O为BD中点。连EO。因为E为DP中点，所以，。又因为平面EAC，平面EAC，所以，PB//平面EAC。（2）正三角形PAD中，E为PD的中点，所以，，又，

6、所以，AE⊥平面PCD。（3）在PC上取点M使得。由于正三角形PAD及矩形ABCD，且AD=AB，所以所以，在等腰直角三角形DPC中，，连接，因为AE⊥平面PCD，所以，。所以，为二面角A－PC－D的平面角。在中，。即二面角A－PC－D的正切值为。（4）设N为AD中点，连接PN，则。又面PAD⊥底面ABCD，所以，PN⊥底面ABCD。所以，NB为PB在面ABCD上的射影。要使PB⊥AC，需且只需NB⊥AC在矩形ABCD中，设AD＝1，AB＝x则，解之得：。所以，当时，PB⊥AC。证法二：（按解法一相应步骤给分）设N为AD中点，Q为BC中点，则因为PAD是正三角形，底面

7、ABCD是矩形，所以，，，又因为侧面PAD⊥底面ABCD，所以，，，以N为坐标原点，NA、NQ、NP所在直线分别为轴如图建立空间直角坐标系。设，，则，，，，，。（2），，，，所以，。又，，所以，AE⊥平面PCD。（3）当时，由（2）可知：是平面PDC的法向量；设平面PAC的法向量为，则，，即，取，可得：。所以，。向量与所成角的余弦值为：。所以，。又由图可知，二面角A－PC－D的平面角为锐角，所以，二面角A－PC－D的平面角就是向量与所成角的补角。其正切值等于。（4），，令，得，所以，。所以，当时，PB⊥AC。例2．（05天津）解：（Ⅰ）过作平面，垂足