三角函数提优2

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1、三角函数提优（2）姓名：1、如图，某剧组在东海拍摄广泛风光片，拍摄基地位于A处，在其正南方向15海里处一小岛B，在B的正东方向20海里处有一小岛C，小岛位于上，且距小岛A10海里.（1）求∠A的度数（精确到1°）和点D到BC的距离；（2）摄制组甲从A处乘甲船出发，沿A→B→C的方向匀速航行，摄制组乙从D处乘乙船出发，沿南偏西方向匀速直线航行，已知甲船的速度是乙船速度的2倍，若两船同时出发并且在B、C间的处相遇，问相遇时乙船航行了多少海里？（结果精确到1海里）（参考数据：.）1、解：（1）在Rt△ABC中，∵tanA=，∴过点D作DE⊥BC于点E，

2、∵而Rt△ABC∽Rt△DEC∴∴∴D到BC的距离为9海里．（2）设相遇时乙船航行了x海里，则DF=x，AB+BF=2x.∵CD=15，DE=9，∴CE=12．∴EF=15+20-2x-12=23-2x在Rt△DEF中，-解得：（不合题意，舍去），．答：相遇时乙船航行了10海里．2、某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°～24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面．新桌面的设计图如图1，AB可绕点A旋转，在点C处安装一根可旋转的支撑臂CD，AC＝30cm．（1）如图2，当∠BAC＝24°时，CD⊥AB

3、，求支撑臂CD的长；（2）如图3，当∠BAC＝12°时，求AD的长．（结果保留根号）图1CBADCBAD图2图3CBA（参考数据：sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.46，sin12°≈0.20）2、解：（1）在Rt△ADC中，AC＝30，∠DAC＝24°，sin∠DAC＝，∴DC＝AC·sin∠DAC≈30×0.40＝12．答：支撑臂DC的长为12cm．（2）本题分两种情况，过点C作CE⊥AB，垂足为E．在Rt△ACE中，AC＝30，∠EAC＝12°，sin∠EAC＝，∴CE＝AC·sin∠EAC≈30×0.20＝

4、6．AE＝＝＝12．在Rt△CDE中，CD＝12，CE＝6，DE＝＝＝6．∴AD＝12±6．答：AD的长为(12＋6)cm．3、（2011苏州）刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．(1)在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C

5、两点间的距离逐渐．(填“不变”、“变大”或“变小”)(2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行?问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形?问题③：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD=15°?如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由．请你分别完成上述三个问题的解答过程．4、在东西方向的海岸线上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A．

6、某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距km的C处．（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．本卷由无锡市天一实验学校金杨建录入并解析QQ：623300747。请勿转载！4、【分析】速度=路程÷时间，因此（1）中关键是求出BC间的距离，而由题意易知，∠BAC=90°，故可由勾股定理知BC的长度．（2）中，看轮船能否行至码头，主要是考虑BC直线与直线l的交点所处的位

7、置．若在MN间，则能行至码头MN靠岸，否则不能．【答案】解：（1）由题意，得∠BAC=90°，∴．∴轮船航行的速度为km/时．(2)能．作BD⊥l于D，CE⊥l于E，设直线BC交l于F，则BD=AB·cos∠BAD=20，CE=AC·sin∠CAE=，AE=AC·cos∠CAE=12．∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDF=∠CEF=90°．又∠BFD=∠CFE，∴△BDF∽△CEF，∴∴，∴EF=8．∴AF=AE+EF=20．∵AM＜AF＜AN，∴轮船不改变航向继续航行，正好能行至码头MN靠岸．