九年级数学上册第四章相似三角形微专题相似三角形判定的综合随堂练习含解析新版浙教版

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1、微专题__相似三角形判定的综合一　相似三角形的判定(教材P136作业题第5题)如图1，在△ABC中，D是AC上一点．已知AB2＝AD·AC，∠ABD＝40°.求∠C的度数．　　图1解：在△ABD与△ACB中，∠A＝∠A.由AB2＝AD·AC，得＝，∴△ABD∽△ACB，∴∠C＝∠ABD＝40°.【思想方法】判定两个三角形相似的常规思路：①先找两对对应角相等；②若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两边是否对应成比例；③若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例．　如图2，在△ABC中，点D在AB上，下列条件能使△BC

2、D和△BAC相似的是(　D　)图2A．∠ACD＝∠B　　　　B．∠ADC＝∠ACBC．AC2＝AD·ABD．BC2＝BD·BA【解析】若BC2＝BD·BA，则有＝，∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC.故选D.　[xx·长春]如图3，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF＝BE.EF与CD交于点G.　图3(1)求证：BD∥EF；　(2)若＝，BE＝4，求EC的长．解：(1)证明：∵在▱ABCD中，AD∥BC，∴DF∥BE，又∵DF＝BE，∴四边形DBEF为平行四边形，∴BD∥EF；(2)∵AD∥B

3、C，∴∠F＝∠GEC，∵∠DGF＝∠CGE，∴△DFG∽△CEG，∴＝＝，∴EC＝6.　[xx·甘肃]如图4，已知EC∥AB，∠EDA＝∠ABF.(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；　图4(2)求证：OA2＝OE·OF.证明：(1)∵EC∥AB，∴∠EDA＝∠DAB，∵∠EDA＝∠ABF，∴∠DAB＝∠ABF，∴AD∥BC，∵DC∥AB，∴四边形ABCD为平行四边形；(2)∵EC∥AB，∴△OAB∽△OED，∴＝，∵AD∥BC，∴△OBF∽△ODA，∴＝，∴＝，∴OA2＝OE·OF.　如图5，在△ABC中，∠ACB

4、＝90°，AC＝BC，点D在边AB上，连结CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE的位置，连结AE.　图5(1)求证：AB⊥AE；(2)若BC2＝AD·AB，求证：四边形ADCE为正方形．证明：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠B＝∠BAC＝45°.∵线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，∴∠DCE＝90°，CD＝CE，∴∠ACB－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，∴△BCD≌△ACE(SAS)，∴∠B＝∠CAE＝45°，∴∠BAE＝∠BAC＋∠CAE＝45°＋

5、45°＝90°，∴AB⊥AE；(2)∵BC2＝AD·AB，AC＝BC，∴AC2＝AD·AB，则＝.又∵∠DAC＝∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴∠CDA＝∠BCA＝90°.又∵∠DAE＝90°，∠DCE＝90°，∴四边形ADCE为矩形．又∵CD＝CE，∴四边形ADCE为正方形．　[xx·宿迁]如图6，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．图6(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.证明：

6、(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠BDE＝180°－∠B－∠DEB，∠CEF＝180°－∠DEF－∠DEB，∵∠DEF＝∠B，∴∠BDE＝∠CEF，∴△BDE∽△CEF；(2)∵△BDE∽△CEF，∴＝，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，∴＝，∵∠DEF＝∠B＝∠C，∴△DEF∽△ECF，∴∠DFE＝∠CFE，∴FE平分∠DFC.　[xx·宁波]从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似

7、，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．(1)如图7①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线；(2)在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数；(3)如图②，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．①　　　　　　　　　②图7解：(1)证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠AC

8、B，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD为等腰三角形，∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线；(2)①当AD＝CD时，如答图①，∠ACD＝∠A＝48°，变形6答图①∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD＋