2019高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1 椭圆 3.1.2 椭圆的简单性质课后训练案巩固提升（含解析）北师大版选修2-1

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1、1.2　椭圆的简单性质课后训练案巩固提升A组1.设椭圆=1(a>b>0)的离心率为e=,右焦点为F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2,则点P(x1,x2)(　　)A.必在圆x2+y2=2内B.必在圆x2+y2=2上C.必在圆x2+y2=2外D.以上三种情形都有解析:∵e=,∴.∵a2=b2+c2,∴b2=a2.∵x1+x2=-,x1·x2=-,∴=(x1+x2)2-2x1x2=+1=<2.∴P点在圆x2+y2=2内.答案:A2.已知对k∈R,直线y-kx-1=0与椭圆=1恒有公共点,则实数m的取

2、值范围是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.(0,1)B.(5,+∞)C.[1,5)∪(5,+∞)D.[1,5)解析:直线y-kx-1=0恒过点(0,1),仅当点(0,1)在椭圆上或椭圆内时,此直线才恒与椭圆有公共点,∴≤1,且m>0,得m≥1.又m≠5,故选C.答案:C3.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若△ABF2是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是(　　)A.B.C.-1D.解析:由题意得

3、AF1

4、=,

5、AF2

6、=

7、BF2

8、.∵△ABF2是等腰直角三角形,∴

9、

10、AF1

11、=

12、F1F2

13、,即=2c.∴b2=a2-c2=2ac.整理得e2+2e-1=0,∴e=-1.答案:C4.焦点在x轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是(　　)A.=1B.+y2=1C.=1D.x2+=1解析:依题意,得a=2,a+c=3,故c=1,b=,故所求椭圆的标准方程是=1.答案:A5.若点O和点F分别为椭圆=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为(　　)A.2B.3C.6D.8解析:由椭圆方程得F(-1,0),设P(x0,y0),则=(x0,y0)·(x0+1

14、,y0)=+x0+.∵P为椭圆上一点,∴=1.∴+x0+3+x0+3=(x0+2)2+2.∵-2≤x0≤2,∴的最大值在x0=2时取得,且最大值等于6.答案:C6.已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是　　　　　. 解析:由已知,得a=2b,c=2,又a2-b2=c2,故b2=4,a2=16,又焦点在x轴上,故椭圆方程为=1.答案:=17.导学号90074059已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使,则该椭圆的离心

15、率的取值范围为　　　　. 解析:如图所示,e=-1.∵

16、PF2

17、-1,即e>-1,∴e2+2e-1>0.又∵0

18、椭圆的标准方程为=1或=1(a>b>0).由已知a=2b,①且椭圆过点(2,-6),从而有=1或=1.②由①②,得a2=148,b2=37,或a2=52,b2=13.故所求椭圆的方程为=1或=1.(2)如图所示,△A1FA2为一等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高),且OF=c,A1A2=2b,∴c=b=3.∴a2=b2+c2=18.故所求椭圆的方程为=1.10.已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点F1(-c,0),A(-a,0),B(0,b)是椭圆的两个顶点.若焦点F1到直线AB的距离为,求椭圆的离心率.解(方法一

19、)由题意,直线AB的方程为=1,即bx-ay+ab=0.∵焦点F1到直线AB的距离d=,∴.两边平方、整理,得8c2-14ac+5a2=0,两边同时除以a2,得8e2-14e+5=0,解得e=或e=(舍去).(方法二)在△AF1B中,由面积公式可得=(a-c)·b,将b2=a2-c2代入上式,整理得8c2-14ac+5a2=0.(以下解法同解法一)B组1.已知椭圆的长轴长为20,短轴长为16,则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是(　　)A.[6,10]B.[6,8]C.[8,10]D.[16,20]解析:不妨设焦点在x轴

20、上,由题意知a=10,b=8,设椭圆上的点M(x0,y0),由椭圆的范围知,

21、x0

22、≤a=10,

23、y0

24、≤b=8,点M到椭圆中心的距离d=.又因为=1,所以=64=64-,则d=.因为0≤≤100,所以64≤+64≤100,所以8≤d≤10.故选C.答案:C2.已知c是椭圆=1(a>b>0)的半焦距,则