2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 椭圆的简单性质（一）训练案 北师大版选修2-1

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1、3.1.2椭圆的简单性质[A.基础达标]1．已知椭圆＋＝1及以下3个函数：①f(x)＝x；②f(x)＝sinx；③f(x)＝cosx，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有(　　)A．1个　　　　　　　　　B．2个C．3个D．0个解析：选B.过原点连续的奇函数等分椭圆面积．易知f(x)＝x，f(x)＝sinx为奇函数，f(x)＝cosx为偶函数，故①②满足要求．2．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个顶点在直线x＋y＝4上，则此椭圆的焦点坐标是(　　)A．(±5，0)B．(0，±5)C．(±，0)D．(0，±)解析：选C.直线x＋y＝4在坐标轴上的截距为4、3，所以a＝4，b＝3，所以c＝＝

2、，故椭圆的焦点坐标为(±，0)．3.如图，A、B、C分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为(　　)A.B.－1C.D.－1解析：选A.因为Rt△AOB∽Rt△BOC，所以＝，即b2＝ac，又b2＝a2－c2，所以a2－c2＝ac，即c2＋ac－a2＝0，所以e2＋e－1＝0，又e∈(0，1)，所以e＝.4．如图，已知ABCDEF是边长为2的正六边形，A、D为椭圆＋＝1(a＞b＞0)长轴的两个端点，BC、EF分别过椭圆两个短轴的端点，则椭圆的方程是(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋y2＝1D.＋y2＝1解析：选A.因为a＝

3、AO

4、＝2，b＝2×＝.故

5、该椭圆的方程为＋＝1.5．设AB是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴，若把线段AB分为100等份，过每个分点作AB的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P99，F1为椭圆的左焦点，则

6、F1A

7、＋

8、F1P1

9、＋

10、F1P2

11、＋…＋

12、F1P99

13、＋

14、F1B

15、的值是(　　)A．98aB．99aC．100aD．101a解析：选D.设F2为椭圆的右焦点，

16、F1Pi

17、＋

18、F2Pi

19、＝2a(i＝1，2，…，99)，P1，P2，…，P99关于y轴成对称分布，（

20、F1Pi

21、＋

22、F2Pi

23、）＝2a×99＝198a，

24、F1Pi

25、＝(

26、F1Pi

27、＋

28、F2Pi

29、)＝99a.又因为

30、F1A

31、＋

32、F1B

33、＝2a，所以

34、

35、F1A

36、＋

37、F1P1

38、＋

39、F1P2

40、＋…＋

41、F1P99

42、＋

43、F1B

44、＝99a＋2a＝101a.6．已知椭圆的长轴长为20，离心率为，则该椭圆的标准方程为________．解析：由题意知，2a＝20，a＝10，e＝＝，所以c＝6，b2＝a2－c2＝64.故椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.答案：＋＝1或＋＝17．椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是________．解析：将椭圆化为标准方程为＋＝1，则必有m>0.因为m＋1>m>0，所以<.所以a2＝，a＝，2a＝.答案：8．若椭圆＋＝1的离心率e∈，则实数m的取值范围为________．解析：当焦点在x轴上时，可得：解得m∈(0，2]；当

45、焦点在y轴上时，可得：解得m∈[8，＋∞)，故m∈(0，2]∪[8，＋∞)．答案：(0，2]∪[8，＋∞)9．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解：椭圆方程可化为＋＝1，因为m－＝>0，所以m>，即a2＝m，b2＝，c＝＝.由e＝得＝，所以m＝1.所以椭圆的标准方程为x2＋＝1.所以a＝1，b＝，c＝.所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为(－，0)，(，0)；四个顶点坐标分别为(－1，0)，(1，0)，(0，－)，(0，)．10．(1)已知椭圆E经过点A(2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，

46、离心率e＝.求椭圆E的方程．(2)如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率．解：(1)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)．由e＝，即＝，得a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2，所以椭圆方程可化为＋＝1.将A(2，3)代入上式，得＋＝1，解得c2＝4，所以椭圆E的方程为＋＝1.(2)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．如题图所示，则有F1(－c，0)，F2(c，0)，A(0，b)，B(a，0)，直线PF1的方程为x＝－c，代入方程＋＝1，得y＝±，所以P.又PF2∥AB，所以△PF1F2∽△AOB.所

47、以＝，所以＝，所以b＝2c.所以b2＝4c2，所以a2－c2＝4c2，所以＝.所以e＝＝.[B.能力提升]1．已知直线x＝t与椭圆＋＝1交于P，Q两点，若点F为该椭圆的左焦点，则使·取得最小值时，t的值为(　　)A．－B．－C.D.解析：选B.若P在x轴上方，则P(t，)，Q(t，－)，所以＝(t＋4，)，＝(t＋4，－)，·＝t2＋8t＋7，t∈(－5，5)，其对称轴为t＝－∈(－5，5)，故当t＝－时，·