2019高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 椭圆方程及性质的综合应用（习题课）课后训练案巩固提升（含解析）北师大版选修2-1

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1、习题课--椭圆方程及性质的综合应用课后训练案巩固提升A组1.已知点M(,0),直线y=k(x+)与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则△ABM的周长为(　　)A.4B.8C.12D.16解析:椭圆+y2=1的焦点在x轴上,a2=4,b2=1,c=,所以椭圆的两个焦点为N(-,0),M(,0).又因为直线y=k(x+)必经过定点N(-,0),由椭圆的定义知△ABM的周长为AB+AM+BM=(AN+AM)+(BN+BM)=2a+2a=4a=8.答案:B2.设F1,F2是椭圆=1的两个焦点,P是椭圆上的点,

2、且

3、PF1

4、∶

5、PF2

6、=2∶1,则△F1PF2的面积等于(　　)A.5B.4C.3D.1解析:由椭圆方程,得a=3,b=2,c=,因为

7、PF1

8、+

9、PF2

10、=2a=6,且

11、PF1

12、∶

13、PF2

14、=2∶1,所以

15、PF1

16、=4,

17、PF2

18、=2.由22+42=(2)2可知,△F1PF2是直角三角形,故△F1PF2的面积为

19、PF1

20、·

21、PF2

22、=×4×2=4.答案:B3.椭圆x2+4y2=36的弦被A(4,2)平分,则此弦所在的直线方程为(　　)A.x-2y=0B.x+2y-4=0C.2x+3y-14=0D

23、.x+2y-8=0解析:设以A(4,2)为中点的椭圆的弦与椭圆交于E(x1,y1),F(x2,y2),∵A(4,2)为EF中点,∴x1+x2=8,y1+y2=4,把E(x1,y1),F(x2,y2)分别代入椭圆x2+4y2=36,得∴(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,∴8(x1-x2)+16(y1-y2)=0,∴k==-,∴以A(4,2)为中点的椭圆的弦所在的直线方程为y-2=-(x-4),整理,得x+2y-8=0.答案:D4.已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1

24、,F2,点P在椭圆上,当△F1PF2的面积为1时,等于(　　)A.0B.1C.2D.解析:设P(x0,y0),则依题意有·

25、F1F2

26、·

27、y0

28、=1,而

29、F1F2

30、=2,所以y0=±.故得x0=±.取P,可得=0.答案:A5.已知椭圆的两个焦点分别是F1,F2,P是椭圆上的一个动点,如果延长F1P到Q,使得

31、PQ

32、=

33、PF2

34、,那么动点Q的轨迹是(　　)A.圆B.椭圆C.射线D.直线解析:因为

35、PQ

36、=

37、PF2

38、且

39、PF1

40、+

41、PF2

42、=2a,所以

43、PQ

44、+

45、PF1

46、=2a.又因为F1,P,Q三点共

47、线,所以

48、PF1

49、+

50、PQ

51、=

52、F1Q

53、.故

54、F1Q

55、=2a,即Q在以F1为圆心,以2a为半径的圆上.答案:A6.已知斜率为2的直线l被椭圆=1截得的弦长为,则直线l的方程为　　　　　　　　　　. 解析:设直线l的方程为y=2x+m,与椭圆交于A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y并整理得14x2+12mx+3(m2-2)=0,所以x1+x2=-m,x1x2=(m2-2).由弦长公式得

56、AB

57、=,解得m=±,所以直线l的方程为y=2x±.答案:y=2x±7.导学号9007

58、4062设AB是椭圆=1的不垂直于对称轴的弦,M为AB的中点,O为坐标原点,则kAB·kOM=　　　　　. 解析:由题意,设A(x1,y1),B(x2,y2),则中点M,所以kAB=,kOM=,所以kAB·kOM=.又因为点A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上,所以b2+a2=a2b2,b2+a2=a2b2,所以b2()+a2()=0,所以=-.答案:-8.已知椭圆的焦点在x轴上,且焦距为4,P为椭圆上一点,且

59、F1F2

60、是

61、PF1

62、和

63、PF2

64、的等差中项.(1)求椭圆的方程;(2)若△PF1

65、F2的面积为2,求点P的坐标.解(1)由题意知,2c=4,c=2,且

66、PF1

67、+

68、PF2

69、=2

70、F1F2

71、=8,即2a=8,所以a=4.所以b2=a2-c2=16-4=12.又椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆的方程为=1.(2)设点P的坐标为(x0,y0),依题意知,

72、F1F2

73、·

74、y0

75、=2,所以

76、y0

77、=,y0=±,代入椭圆方程=1,得x0=±2,所以点P的坐标为(2)或(2,-)或(-2)或(-2,-).9.已知圆A:(x+3)2+y2=100,圆A内一定点B(3,0),圆P过B且与圆A内切,求圆

78、心P的轨迹方程.解设圆P的半径为r,又圆P过点B,所以

79、PB

80、=r.又因为圆P与圆A内切,圆A的半径为10,所以两圆的圆心距

81、PA

82、=10-r,即

83、PA

84、+

85、PB

86、=10(大于

87、AB

88、),所以点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆.所以2a=10,2c=

89、AB

90、=6.所以a=5,c=3.所以b2=a2-c2=25-9=16.即点P的轨迹方程为=1.10.已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,且a2=2b.(1)求椭圆的方程;(2)若直线l:x-y+m=0与椭圆交于A,B两点