2019高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 抛物线方程及性质的综合应用（习题课）课后训练案巩固提升（含解析）北师大版选修2-1

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1、习题课--抛物线方程及性质的综合应用课后训练案巩固提升A组1.设AB为过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦,则

2、AB

3、的最小值为(　　)A.B.pC.2pD.无法确定解析:由抛物线定义可求得,垂直于对称轴的通径最短,即当x=,y=±p时,

4、AB

5、min=2p.答案:C2.以抛物线y2=2px(p>0)的焦半径

6、MF

7、为直径的圆与y轴的位置关系是(　　)A.相交B.相切C.相离D.不确定解析:由抛物线定义知

8、MF

9、=xM+,所以半径r=,而圆心为MF的中点,圆心到y轴的距离为=r,故该圆与y轴相切.答案:B3.已知F为抛物线y2=8

10、x的焦点,过点F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,则

11、

12、FA

13、-

14、FB

15、

16、的值等于(　　)A.8B.8C.4D.4解析:依题意F(2,0),所以直线方程为y=x-2,联立得消去y得x2-12x+4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则

17、

18、AF

19、-

20、BF

21、

22、=

23、(x1+2)-(x2+2)

24、=

25、x1-x2

26、==8.答案:A4.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,

27、AF

28、+

29、BF

30、=3,则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)A.B.1C.D.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由

31、AF

32、+

33、BF

34、=3

35、,得x1+x2+=3,所以x1+x2=,所以线段AB的中点到y轴的距离为.答案:C5.如图,抛物线的顶点在坐标原点,焦点为F,过抛物线上一点A(3,y)向准线作垂线,垂足为B,若△ABF为等边三角形,则抛物线的标准方程是(　　)A.y2=xB.y2=xC.y2=2xD.y2=4x解析:设抛物线方程为y2=2px,取AB的中点为D,由A(3,y),B,得D.因为△ABF为等边三角形,所以FD⊥AB.又F,所以,解得p=2,故抛物线方程为y2=4x.答案:D6.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两

36、点,若线段AB的长为8,则p=　　　　　. 解析:直线y=x-,则所以x2-3px+=0,

37、AB

38、=8=x1+x2+p,所以4p=8,p=2.答案:27.已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则的最小值是　　　　　. 解析:设直线方程为x=ky+4,与抛物线的方程联立得y2-4ky-16=0,∴y1+y2=4k,y1y2=-16.∴=(y1+y2)2-2y1y2=16k2+32.故最小值为32.答案:328.过抛物线y2=8x的焦点作直线l,交抛物线于A,B两点,若线段AB中点

39、的横坐标为3,求

40、AB

41、的值.解由抛物线y2=8x知,p=4.设A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线定义知,

42、AF

43、=x1+,

44、BF

45、=x2+,所以

46、AB

47、=

48、AF

49、+

50、BF

51、=x1++x2+=x1+x2+p,所以x1+x2=

52、AB

53、-p.由条件知=3,则x1+x2=6,所以

54、AB

55、-p=6.又因为p=4,所以

56、AB

57、=10.综上可知,

58、AB

59、的值是10.9.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴.证明:直线AC经过坐标原点O.证明抛物线的焦点为F.设

60、直线AB的方程为x=my+,代入抛物线方程,得y2-2pmy-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-p2.∵BC∥x轴,且点C在准线上,∴C,则kCO=.又由=2px1,得kAO=,故kCO=kAO,即直线AC经过坐标原点O.10.导学号90074072如图,已知动圆M过定点F(0,1)且与x轴相切,点F关于圆心M的对称点为F',动点F'的轨迹为C.(1)求曲线C的方程;(2)设A(x0,y0)是曲线C上的一个定点,过点A任意作两条倾斜角互补的直线,分别与曲线C相交于另外两点P,Q.证明:直线PQ的斜率为定值.

61、(1)解设点F'的坐标为(x,y).∵点F'与点F(0,1)关于点M对称,∴点M的纵坐标为.∵☉M与x轴相切,∴☉M的半径长为.∵线段FF'是☉M的直径,∴

62、FF'

63、=2×=y+1,即=y+1,整理,得x2=4y,即曲线C的方程为x2=4y.(2)证明设点P(x1,y1),Q(x2,y2),如图.根据题意,知直线AP的斜率存在,设为k1,则直线AP的方程为y-y0=k1(x-x0).将其与x2=4y联立并消去y,得x2-4k1x+4k1x0-4y0=0,该方程有两个根x0,x1,则x0+x1=4k1,∴x1=4k1-x0.∵直线AP,

64、AQ的倾斜角互补,∴直线AQ的斜率为-k1.同理,可得x2=-4k1-x0,∴x1+x2=-2x0,∴直线PQ的斜率kPQ==-.根据题意,知x0为定值,∴直线PQ的斜率为定值.B组1.抛物线y2=4x的焦点为F,过F且