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《2019年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.1 椭圆 2.1.2 椭圆的简单几何性质讲义（含解析）湘教版选修2-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2．1.2 椭圆的简单几何性质第一课时 椭圆的简单几何性质[读教材·填要点]1．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距
2、F1F2
3、＝2c对称性对称轴x轴和y轴，对称
4、中心(0,0)离心率e＝(0＜e＜1)2．椭圆的离心率与椭圆的扁圆程度间的关系(1)当椭圆的离心率越接近于1，则椭圆越扁；(2)当椭圆的离心率越接近于0，则椭圆越圆．[小问题·大思维]1．椭圆＋＝1的长轴长、短轴长、离心率各为何值？焦点坐标和顶点坐标各是什么？提示：根据椭圆的标准方程＋＝1，得a＝5，b＝3，则c＝＝4.因此，长轴长2a＝10，短轴长2b＝6.离心率e＝＝＝0.8.焦点为F1(－4,0)和F2(4,0)，顶点为A1(－5,0)，A2(5,0)，B1(0，－3)，B2(0,3)．2．如何用a，b表示离心率
5、？提示：由e＝得e2＝＝，∴e＝.∴e＝.3．借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？提示：短轴端点B1和B2到中心O的距离最近；长轴端点A1和A2到中心O的距离最远．4．借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到焦点的距离取最大值和最小值各是何值？提示：点(a,0)，(－a,0)与焦点F1(－c,0)的距离分别是椭圆上的点与焦点F1的最大距离和最小距离，分别为a＋c和a－c.由椭圆方程研究简单几何性质求椭圆x2＋9y2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．[自主解答] 把已知方程化成标准方
6、程为＋＝1，于是a＝9，b＝3，c＝＝6，所以椭圆的长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，离心率e＝＝.两个焦点的坐标分别为F1(－6，0)，F2(6，0)，四个顶点的坐标分别为A1(－9,0)，A2(9,0)，B1(0，－3)，B2(0,3)．已知椭圆的方程讨论其性质时，应先把椭圆的方程化成标准形式，找准a与b，才能正确地写出其相关性质．在求顶点坐标和焦点坐标时，应注意焦点所在的坐标轴．1．已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、
7、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．解：(1)由椭圆C1：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e＝；(2)椭圆C2：＋＝1，性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；⑤离心率：e＝.由椭圆的简单几何性质求方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)过点(3,0)，离心率e＝；(2)焦距为6，在x轴上的一
8、个焦点与短轴两端点的连线互相垂直．[自主解答] (1)当椭圆的焦点在x轴上时，因为a＝3，e＝，所以c＝.从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1；当椭圆的焦点在y轴上时，因为b＝3，e＝，所以＝.所以a2＝27.所以椭圆的标准方程为＋＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.(2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由已知，得c＝3，b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18.故所求椭圆的标准方程为＋＝1.(1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．(2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是
9、“选标准，定参数”，一般步骤是：①确定焦点所在的坐标轴；②求出a2，b2的值；③写出标准方程．2．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A(2,0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.解：(1)若椭圆的焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)，∵椭圆过点A(2,0),∴＝1，a＝2.∵2a＝2·2b，∴b＝1.∴方程为＋y2＝1.若椭圆的焦点在y轴上．设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，∵椭圆过点A(2,0)，∴＋＝1.∴b＝2,2a＝2·2b.∴a＝4
10、.∴方程为＋＝1.综上所述，椭圆方程为＋y2＝1或＋＝1.(2)由已知∴从而b2＝9，∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.求椭圆的离心率设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )A. B. C. D.[自主解答] 法一：由
