2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第2章 2.1.2 椭圆的简单几何性质 Word版含解析.pdf

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1、2．1.2椭圆的简单几何性质第一课时椭圆的简单几何性质[读教材·填要点]1．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形x2y2y2x2标准方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a＞b＞0)a2b2a2b2范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤aA(－a,0)，A(a,0)，B(0，－A(0，－a)，A(0，a)，B(－121121顶点b)，B(0，b)b,0)，B(b,0)22轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点F(－c,0)，F(c,0)F(0，－c)，F(0，c)1212焦距

2、FF

3、＝2c12对称性对

4、称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)c离心率e＝(0＜e＜1)a2．椭圆的离心率与椭圆的扁圆程度间的关系(1)当椭圆的离心率越接近于1，则椭圆越扁；(2)当椭圆的离心率越接近于0，则椭圆越圆．[小问题·大思维]x2y21．椭圆＋＝1的长轴长、短轴长、离心率各为何值？焦点坐标和顶点坐标各是什259么？x2y2提示：根据椭圆的标准方程＋＝1，259得a＝5，b＝3，则c＝25－9＝4.因此，长轴长2a＝10，短轴长2b＝6.c4离心率e＝＝＝0.8.a5焦点为F(－4,0)和F(4,0)，12顶点为A(－5,0)，A(5,0)，B(

5、0，－3)，B(0,3)．12122．如何用a，b表示离心率？cc2a2－b2提示：由e＝得e2＝＝，aa2a2b∴e＝1－a2.b2∴e＝1－.a23．借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？提示：短轴端点B和B到中心O的距离最近；长轴端点A和A到中心O的距离最1212远．4．借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到焦点的距离取最大值和最小值各是何值？提示：点(a,0)，(－a,0)与焦点F(－c,0)的距离分别是椭圆上的点与焦点F的最大距离11和最小距离，分别为a＋c和a－c.由椭圆方程研究简单

6、几何性质求椭圆x2＋9y2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．x2y2[自主解答]把已知方程化成标准方程为＋＝1，于是a＝9，b＝3，c＝81－9＝81962，c22所以椭圆的长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，离心率e＝＝.a3两个焦点的坐标分别为F(－62，0)，F(62，0)，四个顶点的坐标分别为A(－9,0)，121A(9,0)，B(0，－3)，B(0,3)．212已知椭圆的方程讨论其性质时，应先把椭圆的方程化成标准形式，找准a与b，才能正确地写出其相关性质．在求顶点坐标和焦点坐标时，应注意焦点所在的坐标轴．

7、x2y21．已知椭圆C：＋＝1，设椭圆C与椭圆C的长轴长、短轴长分别相等，且椭11006421圆C的焦点在y轴上．2(1)求椭圆C的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；1(2)写出椭圆C的方程，并研究其性质．2x2y2解：(1)由椭圆C：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，1100643(－6,0)，离心率e＝；5y2x2(2)椭圆C：＋＝1，210064性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0

8、)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；3⑤离心率：e＝.5由椭圆的简单几何性质求方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：6(1)过点(3,0)，离心率e＝；3(2)焦距为6，在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直．[自主解答](1)当椭圆的焦点在x轴上时，6因为a＝3，e＝，3所以c＝6.从而b2＝a2－c2＝3，x2y2所以椭圆的标准方程为＋＝1；936当椭圆的焦点在y轴上时，因为b＝3，e＝，3a2－b26所以＝.所以a2＝27.a3y2x2所以椭圆的标准方程为＋＝1.279x2y2y2x2综上可知，所求椭圆

9、的标准方程为＋＝1或＋＝1.93279x2y2(2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，a2b2由已知，得c＝3，b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18.x2y2故所求椭圆的标准方程为＋＝1.189(1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．(2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，一般步骤是：①确定焦点所在的坐标轴；②求出a2，b2的值；③写出标准方程．2．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A(2,0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点

10、的距离为3.解：(1)若椭圆的焦点在x轴上，x2y2设方程为＋＝1(a>b>0)，a2b24∵椭圆过点A(2,0),∴＝1，a＝2.a2x2∵2a＝2·2b，∴b＝1.∴方程为＋y2＝1.4若椭圆的焦点在y轴上．y2x2设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，a2b2024∵椭圆过