2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第2章 2.3.2 抛物线的简单几何性质 Word版含解析.pdf

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1、2．3.2抛物线的简单几何性质第一课时抛物线的简单几何性质[读教材·填要点]抛物线的几何性质类型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图象pppp焦点F2，0F－2，0F0，2F0，－2pppp准线x＝－x＝y＝－y＝2222性范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0质对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e＝1开口方向向右向左向上向下[小问题·大思维]1．抛物线y2＝2px(p>0)有几条对称轴？是否是中心对称图形？提示：有一条对称轴，即x轴，不是中心对称图形．2．抛物线上一点与焦点F的连

2、线的线段叫作焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫作焦点弦，若P(x，y)是抛物线上任意一点，焦点弦的端点为A(x，y)，B(x，y)，001122根据上述定义，你能完成以下表格吗？y2＝y2＝－x2＝x2＝－标准方程2px(p>0)2px(p>0)2py(p>0)2py(p>0)焦半径

3、PF

4、＝____

5、PF

6、＝____

7、PF

8、＝____

9、PF

10、＝____

11、PF

12、焦点弦

13、AB

14、＝____

15、AB

16、＝____

17、AB

18、＝____

19、AB

20、＝____

21、AB

22、提示：y2＝－x2＝标准方程y2＝2px(p>0)x2＝－2py(p>0)2px(p>0)2py(p>0)p

23、PF

24、＝yp

25、PF

26、＝0p2焦半径

27、

28、PF

29、

30、PF

31、＝x0＋2p

32、PF

33、＝2－y0＋－x20

34、AB

35、＝x＋x

36、AB

37、＝p

38、AB

39、＝y121焦点弦

40、AB

41、

42、AB

43、＝p－y－y12＋p－x－x＋y＋p122抛物线方程及其几何性质已知顶点在原点，以x轴为对称轴，且过焦点垂直于x轴的弦AB的长为8，求出抛物线的方程，并指出它的焦点坐标和准线方程．[自主解答]当焦点在x轴的正半轴上时，设方程为y2＝2px(p>0)．p当x＝时，y＝±p，2由

44、AB

45、＝2p＝8，得p＝4.故抛物线方程为y2＝8x，焦点坐标为(2,0)，准线方程为x＝－2.当焦点在x轴的负半轴上时，设方程y2＝－2px(p>0)．由对称性知抛物线方程为y2＝－8x，焦点坐标

46、为(－2,0)，准线方程为x＝2.用待定系数法求抛物线的标准方程，其主要步骤为：1．已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．解：由题意，抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，pp焦点F2，0，直线l：x＝2，pp∴A，B两点坐标为2，p，2，－p.∴

47、AB

48、＝2

49、p

50、.∵△OAB的面积为4，1p∴··2

51、p

52、＝4.22∴p＝±22.∴抛物线方程为y2＝±42x.抛物线几何性质的应用已知A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，O为坐标原点，若

53、OA

54、＝

55、OB

56、，且△

57、AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程．[自主解答]∵

58、OA

59、＝

60、OB

61、，∴设A，B坐标分别为A(x，y)，B(x，－y)．0000∵△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点F，∴k·k＝－1，FAOBy－y即0·0＝－1，pxx－002p∴y2＝xx－＝2px(x＞0，p＞0)．00020055∴x＝p.∴直线AB的方程为x＝p.022若将“△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点”改为“OA⊥OB”，求

62、AB

63、的值．解：由题意知，△AOB为等腰直角三角形，且A，B两点关于x轴对称．y如图，设A(x，y)，则k＝0＝1且y2＝2px，00OAx000∴x＝y＝2p，00∴

64、AB

65、＝

66、2y＝4p.0抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含条件．本题的关键是根据抛物线的对称性可知线段AB垂直于x轴．故求直线AB的方程时求出A的横坐标即可．2．已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，且OA的方程为y＝2x，

67、AB

68、＝53，求抛物线的方程．解：∵OA⊥OB，∴△AOB为直角三角形．∵OA所在直线为y＝2x，1∴OB所在直线方程为y＝－x.2y＝2x，p由得A点坐标2，p.y2＝2px1y＝－x，由2得B点坐标为(8p，－4p)．y2＝2px∵

69、AB

70、＝53，p∴

71、p＋4p2＋2－8p2＝53.239∵p>0，解得p＝，13439∴所求抛物线方程为y2＝x.13抛物线中过焦点的弦长问题过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x，y)，B(x，y)，若

72、AB

73、＝7，1122求AB的中点M到抛物线准线的距离．[自主解答]抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线定义知pp

74、AB

75、＝

76、AF

77、＋

78、BF

79、＝x＋＋x＋＝x＋x＋p，12221