2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第3章 3.7 点到平面的距离 Word版含解析.pdf

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1、3．7点到平面的距离[读教材·填要点]1．点到平面的距离(1)定义：从空间中一点P到平面α作垂线PD交平面α于D，则线段PD的长度d称为点P到平面α的距离．―→(2)求法：平面α的法向量n以及平面上任一点A，则AP在法向量n所在方向上的投―→AP·n影长度d就等于点P到平面α的距离，即d＝.

2、n

3、2．直线与平面的距离设直线l平行于平面α，则l上所有的点到α的距离相等，称为l与α的距离，显然，只要在l上任取一点P，求出P到α的距离，就得到l与α的距离．3．平面与平面的距离设两个平面α与β平行，则β上所有的点到α的距离d相等，d称为两个平行平面α，β之间的距离

4、．显然，只要在β上任取一点P，求出P到α的距离，就得到了这两个平面的距离．[小问题·大思维]1．求直线与平面的距离、平面与平面的距离时，直线与平面、平面与平面之间有什么关系？提示：直线与平面平行，平面与平面平行．2．点到平面的距离、直线与平面的距离、平面与平面的距离，三者之间有什么关系？提示：求直线与平面的距离，平面与平面的距离，其实质是求点到平面的距离．求点到平面的距离四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点．(1)求证：DE∥平面PFB；(2)求点E到平面PFB的距离．[自主解答](1)证明：以

5、D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,2)，F(1,0,0)，B(2,2,0)，E(0,1,1)．―→―→FP＝(－1,0,2)，FB＝(1,2,0)，―→DE＝(0,1,1)，―→1―→1―→∴DE＝FP＋FB，22―→∴DE∥平面PFB.又∵DE平面PFB，∴DE∥平面PFB.(2)∵DE∥平面PFB，∴点E到平面PFB的距离等于点D到平面PFB的距离．设平面PFB的一个法向量n＝(x，y，z)，―→n·FB＝0，x＋2y＝0，则―→－x＋2z＝0，n·FP＝0令x＝2，得y＝－1，z＝1.―→∴n＝(2，－1,1)，又∵FD＝

6、(－1,0,0)，∴点D到平面PFB的距离―→

7、FD·n

8、26d＝＝＝.

9、n

10、636∴点E到平面PFB的距离为.3利用空间向量求点到平面的距离的四步骤1．长方体ABCD-ABCD中，AB＝4，AD＝6，AA＝4，M是AC的中点，P在线1111111段BC上，且

11、CP

12、＝2.求点M到平面ABP的距离．1解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4,0,0)，B(0,0,4)，1P(0,4,0)，M(2,3,4)―→―→设n＝(x，y，z)是平面ABP的一个法向量，则n⊥AB，n⊥AP，11―→―→∵AB＝(－4,0,4)，AP＝(－4,4,0)，1－4x＋4z＝0，∴

13、－4x＋4y＝0，―→因此可取n＝(1,1,1)，由于MA＝(2，－3，－4)，所以点M到平面ABP的距离为1―→

14、MA·n

15、

16、2×1＋－3×1＋－4×1

17、53d＝＝＝，

18、n

19、3353故M到平面ABP的距离为.13求直线与平面、平面与平面的距离棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，E，F分别为BB，CC的中点，DG1111111＝DD，过E，F，G的平面交AA于点H，求直线AD到平面EFGH的距离．31111[自主解答]以D点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．11则E1，1，，F0，1，，221G0，0，，D(0,0,1)，

20、31―→∴EF＝(－1,0,0)，―→1FG＝0，－1，－.6设平面EFGH的一个法向量为n＝(x，y，z)，―→―→则n·EF＝0，且n·FG＝0，－x＝0，即1令z＝6，可得n＝(0，－1,6)．y＋6z＝0，―→―→1

21、DF·n

22、437又DF＝0，1，－，∴d＝1＝.12

23、n

24、37(1)求直线到平面的距离和平面到平面的距离的实质就是求直线上的点到平面的距离．(2)用向量法求点到平面的距离的关键是正确建系，准确求得各点及向量的坐标，然后求出平面的法向量，正确运用公式求解．2．正方体ABCD-ABCD的棱长为1，求平面ABD与平面BCD间

25、的距离．1111111解：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,1)，B(1,1,0)，D(0,0,1)，11―→―→AB＝(0,1，－1)，AD＝(－1,0，－1)，11―→AD＝(－1,0,0)．11设平面ABD的一个法向量为n＝(x，y，z)，1―→n·AB＝0，y－z＝0，1则―→－x－z＝0，n·AD＝0，1令z＝1，得y＝1，x＝－1，∴n＝(－1,1,1)．―→

26、AD·n

27、13∴点D到平面ABD的距离d＝11＝＝.11

28、n

29、33∵平面ABD与平面BCD间的距离等于点D到平面ABD的距离，111113∴