2018年秋高中数学 第一章 导数及其应用 阶段复习课 第1课 导数及其应用学案 新人教A版选修2-2

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1、第一课　导数及其应用[核心速填]1．导数的概念(1)定义：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．(2)几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0))处的切线斜率．2．几个常用函数的导数(1)若y＝f(x)＝c，则f′(x)＝0.(2)若y＝f(x)＝x，则f′(x)＝1.(3)若y＝f(x)＝x2，则f′(x)＝2x.(4)若y＝f(x)＝，则f′(x)＝－.(5)若y＝f(x)＝，则f′(x)＝.3．基本初等函数的导数

2、公式(1)若f(x)＝c(c为常数)，则f′(x)＝0.(2)若f(x)＝xα(α∈Q*)，则f′(x)＝αxα－1.(3)若f(x)＝sinx，则f′(x)＝cos_x.(4)若f(x)＝cosx，则f′(x)＝－sin_x.(5)若f(x)＝ax，则f′(x)＝axln_a.(6)若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex.(7)若f(x)＝logax，则f′(x)＝.(8)若f(x)＝lnx，则f′(x)＝.4．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．(2)[f(x

3、)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．(3)′＝.5．复合函数的求导法则(1)复合函数记法：y＝f(g(x))．(2)中间变量代换：y＝f(u)，u＝g(x)．(3)逐层求导法则：y′x＝y′u·u′x.6．函数的单调性、极值与导数(1)函数的单调性与导数在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．(2)函数的极值与导数①极大值：在点x＝a附近，满足f(a)≥f(x)，当x

4、＜a时，f′(x)＞0，当x＞a时，f′(x)＜0，则点a叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的极大值；②极小值：在点x＝a附近，满足f(a)≤f(x)，当x＜a时，f′(x)＜0，当x＞a时，f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．7．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个为最小值．8．微积分基本定理一般地，如果f(x

5、)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)．9．定积分的性质①kf(x)dx＝kf(x)dx；②[f(x)＋g(x)]dx＝f(x)dx＋g(x)dx；③f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b)．[体系构建][题型探究]导数的几何意义　已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某

6、一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程.【导学号：31062107】[解]　(1)∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)法一：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.又∵直线l过点(0,0)，∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16.整理得，x＝－8，

7、∴x0＝－2.∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，则k＝＝，又∵k＝f′(x0)＝3x＋1，∴＝3x＋1.解得，x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．(3)∵切线与直线y＝－＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝

8、3x＋1＝4，∴x0＝±1.∴或即切点为(1，－14)或(－1，－18)．切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.[规律方法]　1.导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点.2.围绕着切点有三个等量关系：切点(x0，y0)，则k＝f′(x0)，y0＝f(x