2018年秋高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.2 双曲线的简单几何性质学案 新人教A版选修2-1

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1、2.3.2　双曲线的简单几何性质学习目标：1.掌握双曲线的简单几何性质．(重点)2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(难点)[自主预习·探新知]1．双曲线的几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a)轴长实轴长＝2a，虚轴长＝2b离心率e＝>1渐近线y＝±xy＝±x思考：(1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？[提示]　(1)渐近线

2、相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．(2)e2＝＝1＋，是渐近线的斜率或其倒数．2．双曲线的中心和等轴双曲线(1)双曲线的中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．(2)等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e＝.[基础自测]1．思考辨析(1)双曲线虚轴的两个端点，不是双曲线的顶点．(　　)(2)等轴双曲线的渐近线是y＝±x.(　　)(3)双曲线的实轴长一定大于虚轴长．(　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3)×2．双曲线－y2＝1的顶点坐标是(　　)A．(4,0)，(0,1)　B．(－4,0)，(

3、4,0)C．(0,1)，(0，－1)D．(－4,0)，(0，－1)B　[由题意知，双曲线的焦点在x轴上，且a＝4，因此双曲线的顶点坐标是(－4,0)，(4,0)．]3．若双曲线－＝1(m＞0)的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点坐标是________.【导学号：46342096】(－，0)，(，0)　[由双曲线方程得出其渐近线方程为y＝±x，∴m＝3，求得双曲线方程为－＝1，从而得到焦点坐标为(－，0)，(，0)．][合作探究·攻重难]根据双曲线方程研究几何性质　(1)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝

4、1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　　)A．x±y＝0　　　　　B．x±y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0(2)求双曲线nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．[解]　(1)椭圆C1的离心率e1＝，双曲线C2的离心率e2＝.由e1e2＝·＝·＝，解得＝，所以＝，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0.[答案]　A(2)把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，化为标准方程－＝1(m＞0，n＞0)，由此可知，实半轴长a＝，虚半轴长b＝，c

5、＝，焦点坐标为(，0)，(－，0)，离心率e＝＝＝.顶点坐标为(－，0)，(，0)．∴渐近线的方程为y＝±x＝±x.[规律方法]　由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键．(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．(3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质．提醒：求性质时一定要注意焦点的位置．[跟踪训练]1．(1)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是(　　)A．x2－＝1B．－y2＝1C．－x2＝1D．y2－＝1C　[A、B选项中双曲线的焦点在x轴上，可

6、排除；C、D选项中双曲线的焦点在y轴上，令－x2＝0，得y＝±2x；令y2－＝0，得y＝±x.故选C．](2)若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为(　　)A．y＝±2xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±xB　[在双曲线中，离心率e＝＝＝，可得＝，故所求的双曲线的渐近线方程是y＝±x.]利用几何性质求双曲线方程　(1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(　　)A．－＝1B．－＝1C．－y2＝1D．x2－＝1(2)渐近线方程为y＝±x

7、，且经过点A(2，－3)的双曲线方程为________________.【导学号：46342097】[思路探究]　(1)△OAF是边长为2的等边三角形⇒求c和点A的坐标⇒渐近线的斜率⇒求a，b(2)方法一：分焦点在x轴和y轴上两种情况求解．方法：待定系数法求解．[解析]　(1)不妨设点A在第一象限，由题意可知c＝2，点A的坐标为(1，)，所以＝，又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，b2＝3，故所求双曲线的方程为x2－＝1，故选D．(2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为：－＝1(a>0，b

8、>0)，则＝.①因为点A(2，－3)在双曲线上，所以－＝1.②联立①②，无解．若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.③因为点A(2，－3)在双曲线上，所以－＝1.④联立③④，解得a2＝8，b2＝32.