2018-2019学年高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.4 用向量讨论垂直与平行训练案 北师大版选修2-1

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1、2.4用向量讨论垂直与平行[A.基础达标]1．已知A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC的形状是(　　)A．等腰三角形　　　　　　B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：选C.＝(－5，－1，7)，＝(－2，3，－1)，由于·＝0且

2、

3、≠

4、

5、，所以BC⊥CA，故选C.2．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．若

6、a

7、＝，a分别与，垂直，则向量a为(　　)A．(1，1，1)B．(－1，－1，－1)C．(1，1，1)或(－1，－1，－1)D．(1，－1，1)或(－1，1，－1)解析：选C.设a＝(x，y，z)，＝(－2，

8、－1，3)，＝(1，－3，2)，由题意得得或3．在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC＝AA1，AB⊥AC，E是BC的中点，则A1E与平面AB1C1的位置关系是(　　)A．相交但不垂直B．A1E∥平面AB1C1C．A1E⊥平面AB1C1D．A1E平面AB1C1解析：选A.建立如图所示的空间直角坐标系．取

9、AB

10、＝1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，E(，，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(0，1，1)，＝(，，－1)，＝(1，0，1)，＝(0，1，1)，由于·≠0，·≠0，故选A.4.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N

11、分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)A．相交B．平行C．垂直D．不能确定解析：选B.建立如图坐标系，A1(a，a，0)，B(a，0，a)，A(a，a，a)，C(0，0，a)，M(a，a，a)，N(a，a，a)，　则＝(－a，0，a)，＝(0，a，0)·＝0，故⊥，又因为⊥平面BB1C1C，所以∥平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.5．已知在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥

12、平面D1PQB1.这四个结论中正确的个数为(　　)A．1B．2C．3D．4解析：选C.设＝a，＝b，＝c，则＝＋＝－c＋a，＝＋＝－c＋a，即＝，故A1M∥D1P.因为＝＋＝－c＋b，所以与不共线，故A1M和B1Q不平行，因为A1M∥D1P，D1P平面DCC1D1，D1P平面D1PQB1，所以A1M∥平面DCC1D1，A1M∥平面D1PQB1，故①③④正确．6．已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)，则直线AB与平面yOz交点C的坐标是________．解析：令C的坐标为(0，y，z)，则由＝λ，得解得答案：(0，2，6)7．设平面α的一个法向量为(3，2，－1)，平面β的一个法向量为(－

13、2，－，k)，若α∥β，则k等于________．解析：因为α∥β，所以(3，2，－1)＝λ(－2，－，k)，即，解得k＝.答案：8．已知空间三点A(0，0，1)，B(－1，1，1)，C(1，2，－3)，若直线AB上一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为________．解析：＝(－1，1，0)，因为∥，所以＝λ＝(－λ，λ，0)，故M的坐标为(－λ，λ，1)，＝(－λ－1，λ－2，4)，因为⊥，所以·＝0，即λ＝，故M的坐标为(－，，1)．答案：(－，，1)9.如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别为AB、SC的中点．证明：EF∥平面SAD.证

14、明：建立如图所示的空间直角坐标系．设A(a，0，0)，S(0，0，b)，则B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，F，＝.取SD的中点G，连接AG，则＝.因为＝，所以EF∥AG，又AG平面SAD，EF⃘平面SAD，所以EF∥平面SAD.10．在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1.证明：分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，E，M(1，1，m)．所以＝(－1，1，0)，　又E、F分别为AB、BC的

15、中点，所以＝＝.又因为＝，＝(1，1，m－1)，因为D1M⊥平面FEB1，所以D1M⊥EF且D1M⊥B1E.即·＝0，且·＝0.所以所以m＝.故取B1B的中点M就能满足D1M⊥平面EFB1.[B.能力提升]1．已知平面α内有一点A(2，－1，2)，它的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)A．(1，－1，1)B．(1，3，)C．(1，－3，)D．(－1，3，－)解析：选B.要判断