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时间:2019-11-16
《2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.3.1 双曲线及其标准方程训练案 北师大版选修2-1》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.3.1双曲线及其标准方程[A.基础达标]1.已知双曲线C的右焦点为F(3,0),=,则C的标准方程是( )A.-=1 B.-=1C.-=1D.-=1解析:选B.由题意可知c=3,a=2,b===,故双曲线C的标准方程为-=1.2.“32、但“m<-2或33、PF14、=25、PF26、,则cos∠F1PF2=( )A.B.C.D.解析:选C.双曲线方程可化为-=1,a=b=,c=2,由得7、PF28、=2,9、PF110、=4,又因为11、F1F212、=2c=4,在△F1PF2中,由余弦定理得cos∠F1PF2===.5.如图,△ABC外接圆半径R=,∠A13、BC=120°,BC=10,弦BC在x轴上且y轴垂直平分BC边,则过点A且以B,C为焦点的双曲线的方程为( )A.-=1(x<0)B.-=1(x<0)C.-=1(x<0)D.-=1(x<0)解析:选B.由正弦定理:=2R,得14、AC15、=14.由余弦定理:16、AC17、2=18、BC19、2+20、AB21、2-222、BC23、24、AB25、cos∠ABC,得26、AB27、=6,所以=8=2a,得a=4,因为c=5,所以b=3,所以该双曲线的方程为-=1(x<0).6.若双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为(0,3),则k的值为________.解析:依题意,双曲线方程可化为-=1,已知一28、个焦点为(0,3),所以--=9,解得k=-1.答案:-17.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),点P(3,)在双曲线上,则双曲线的方程为________.解析:因为29、PF130、=4,31、PF232、=2,所以=2a=2,即a=,又因为c=2,所以b==,所以该双曲线的方程为-=1.答案:-=18.已知F为双曲线C:-=1的左焦点,P,Q为C上的点.若33、PQ34、=16,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为________.解析:显然点A(5,0)为双曲线的右焦点.由题意得,35、FP36、-37、PA38、=6,39、FQ40、41、-42、QA43、=6,两式相加,利用双曲线的定义得44、FP45、+46、FQ47、=28,所以△PQF的周长为48、FP49、+50、FQ51、+52、PQ53、=44.答案:449.设圆C与两圆(x+)2+y2=4,(x-)2+y2=4中的一个内切,另一个外切.求圆心C的轨迹L的方程.解:依题意得两圆的圆心分别为F1(-,0),F2(,0),从而可得54、CF155、+2=56、CF257、-2或58、CF259、+2=60、CF161、-2,所以62、63、CF264、-65、CF166、67、=4<68、F1F269、=2,所以圆心C的轨迹是双曲线,其中a=2,c=,b2=c2-a2=1,故圆心C的轨迹L的方程是-y2=1.10.双曲线-=1的两个70、焦点为F1,F2,点P在双曲线上.若PF1⊥PF2,求点P到x轴的距离.解:设P点坐标为(x0,y0),而F1(-5,0),F2(5,0),则=(-5-x0,-y0),=(5-x0,-y0).因为PF1⊥PF2,所以·=0,即(-5-x0)(5-x0)+(-y0)·(-y0)=0,整理,得x+y=25.①又因为P(x0,y0)在双曲线上,所以-=1.②联立①②,得y=,即71、y072、=.因此点P到x轴的距离为.[B.能力提升]1.如图,从双曲线-=1的左焦点F引圆x2+y2=3的切线FP交双曲线右支于点P,T为切点,M为线段FP的中点,O为坐标原点,则73、74、MO75、-76、MT77、等于( )A.B.C.-D.+解析:选C.78、OM79、-80、MT81、=82、PE83、-(84、MF85、-86、FT87、)=88、FT89、-(90、PF91、-92、PE93、)=-×2=-.2.已知P为双曲线-=1(a>0,b>0)右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,I是△PF1F2的内心,若S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2成立,则λ的值为( )A.B.C.D.解析:选B.设△PF1F2的内切圆半径为r.则S△IPF1=94、PF195、r,S△IPF2=96、PF297、r,S△IF1F2=98、F1F299、r,由S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2得λ100、F1F2101、102、=103、PF1104、-105、PF2106、=2a,即λ·2c=2a得λ==.3.若点P在曲线C1:-=1上,点Q在曲线C2:(
2、但“m<-2或33、PF14、=25、PF26、,则cos∠F1PF2=( )A.B.C.D.解析:选C.双曲线方程可化为-=1,a=b=,c=2,由得7、PF28、=2,9、PF110、=4,又因为11、F1F212、=2c=4,在△F1PF2中,由余弦定理得cos∠F1PF2===.5.如图,△ABC外接圆半径R=,∠A13、BC=120°,BC=10,弦BC在x轴上且y轴垂直平分BC边,则过点A且以B,C为焦点的双曲线的方程为( )A.-=1(x<0)B.-=1(x<0)C.-=1(x<0)D.-=1(x<0)解析:选B.由正弦定理:=2R,得14、AC15、=14.由余弦定理:16、AC17、2=18、BC19、2+20、AB21、2-222、BC23、24、AB25、cos∠ABC,得26、AB27、=6,所以=8=2a,得a=4,因为c=5,所以b=3,所以该双曲线的方程为-=1(x<0).6.若双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为(0,3),则k的值为________.解析:依题意,双曲线方程可化为-=1,已知一28、个焦点为(0,3),所以--=9,解得k=-1.答案:-17.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),点P(3,)在双曲线上,则双曲线的方程为________.解析:因为29、PF130、=4,31、PF232、=2,所以=2a=2,即a=,又因为c=2,所以b==,所以该双曲线的方程为-=1.答案:-=18.已知F为双曲线C:-=1的左焦点,P,Q为C上的点.若33、PQ34、=16,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为________.解析:显然点A(5,0)为双曲线的右焦点.由题意得,35、FP36、-37、PA38、=6,39、FQ40、41、-42、QA43、=6,两式相加,利用双曲线的定义得44、FP45、+46、FQ47、=28,所以△PQF的周长为48、FP49、+50、FQ51、+52、PQ53、=44.答案:449.设圆C与两圆(x+)2+y2=4,(x-)2+y2=4中的一个内切,另一个外切.求圆心C的轨迹L的方程.解:依题意得两圆的圆心分别为F1(-,0),F2(,0),从而可得54、CF155、+2=56、CF257、-2或58、CF259、+2=60、CF161、-2,所以62、63、CF264、-65、CF166、67、=4<68、F1F269、=2,所以圆心C的轨迹是双曲线,其中a=2,c=,b2=c2-a2=1,故圆心C的轨迹L的方程是-y2=1.10.双曲线-=1的两个70、焦点为F1,F2,点P在双曲线上.若PF1⊥PF2,求点P到x轴的距离.解:设P点坐标为(x0,y0),而F1(-5,0),F2(5,0),则=(-5-x0,-y0),=(5-x0,-y0).因为PF1⊥PF2,所以·=0,即(-5-x0)(5-x0)+(-y0)·(-y0)=0,整理,得x+y=25.①又因为P(x0,y0)在双曲线上,所以-=1.②联立①②,得y=,即71、y072、=.因此点P到x轴的距离为.[B.能力提升]1.如图,从双曲线-=1的左焦点F引圆x2+y2=3的切线FP交双曲线右支于点P,T为切点,M为线段FP的中点,O为坐标原点,则73、74、MO75、-76、MT77、等于( )A.B.C.-D.+解析:选C.78、OM79、-80、MT81、=82、PE83、-(84、MF85、-86、FT87、)=88、FT89、-(90、PF91、-92、PE93、)=-×2=-.2.已知P为双曲线-=1(a>0,b>0)右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,I是△PF1F2的内心,若S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2成立,则λ的值为( )A.B.C.D.解析:选B.设△PF1F2的内切圆半径为r.则S△IPF1=94、PF195、r,S△IPF2=96、PF297、r,S△IF1F2=98、F1F299、r,由S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2得λ100、F1F2101、102、=103、PF1104、-105、PF2106、=2a,即λ·2c=2a得λ==.3.若点P在曲线C1:-=1上,点Q在曲线C2:(
3、PF1
4、=2
5、PF2
6、,则cos∠F1PF2=( )A.B.C.D.解析:选C.双曲线方程可化为-=1,a=b=,c=2,由得
7、PF2
8、=2,
9、PF1
10、=4,又因为
11、F1F2
12、=2c=4,在△F1PF2中,由余弦定理得cos∠F1PF2===.5.如图,△ABC外接圆半径R=,∠A
13、BC=120°,BC=10,弦BC在x轴上且y轴垂直平分BC边,则过点A且以B,C为焦点的双曲线的方程为( )A.-=1(x<0)B.-=1(x<0)C.-=1(x<0)D.-=1(x<0)解析:选B.由正弦定理:=2R,得
14、AC
15、=14.由余弦定理:
16、AC
17、2=
18、BC
19、2+
20、AB
21、2-2
22、BC
23、
24、AB
25、cos∠ABC,得
26、AB
27、=6,所以=8=2a,得a=4,因为c=5,所以b=3,所以该双曲线的方程为-=1(x<0).6.若双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为(0,3),则k的值为________.解析:依题意,双曲线方程可化为-=1,已知一
28、个焦点为(0,3),所以--=9,解得k=-1.答案:-17.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),点P(3,)在双曲线上,则双曲线的方程为________.解析:因为
29、PF1
30、=4,
31、PF2
32、=2,所以=2a=2,即a=,又因为c=2,所以b==,所以该双曲线的方程为-=1.答案:-=18.已知F为双曲线C:-=1的左焦点,P,Q为C上的点.若
33、PQ
34、=16,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为________.解析:显然点A(5,0)为双曲线的右焦点.由题意得,
35、FP
36、-
37、PA
38、=6,
39、FQ
40、
41、-
42、QA
43、=6,两式相加,利用双曲线的定义得
44、FP
45、+
46、FQ
47、=28,所以△PQF的周长为
48、FP
49、+
50、FQ
51、+
52、PQ
53、=44.答案:449.设圆C与两圆(x+)2+y2=4,(x-)2+y2=4中的一个内切,另一个外切.求圆心C的轨迹L的方程.解:依题意得两圆的圆心分别为F1(-,0),F2(,0),从而可得
54、CF1
55、+2=
56、CF2
57、-2或
58、CF2
59、+2=
60、CF1
61、-2,所以
62、
63、CF2
64、-
65、CF1
66、
67、=4<
68、F1F2
69、=2,所以圆心C的轨迹是双曲线,其中a=2,c=,b2=c2-a2=1,故圆心C的轨迹L的方程是-y2=1.10.双曲线-=1的两个
70、焦点为F1,F2,点P在双曲线上.若PF1⊥PF2,求点P到x轴的距离.解:设P点坐标为(x0,y0),而F1(-5,0),F2(5,0),则=(-5-x0,-y0),=(5-x0,-y0).因为PF1⊥PF2,所以·=0,即(-5-x0)(5-x0)+(-y0)·(-y0)=0,整理,得x+y=25.①又因为P(x0,y0)在双曲线上,所以-=1.②联立①②,得y=,即
71、y0
72、=.因此点P到x轴的距离为.[B.能力提升]1.如图,从双曲线-=1的左焦点F引圆x2+y2=3的切线FP交双曲线右支于点P,T为切点,M为线段FP的中点,O为坐标原点,则
73、
74、MO
75、-
76、MT
77、等于( )A.B.C.-D.+解析:选C.
78、OM
79、-
80、MT
81、=
82、PE
83、-(
84、MF
85、-
86、FT
87、)=
88、FT
89、-(
90、PF
91、-
92、PE
93、)=-×2=-.2.已知P为双曲线-=1(a>0,b>0)右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,I是△PF1F2的内心,若S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2成立,则λ的值为( )A.B.C.D.解析:选B.设△PF1F2的内切圆半径为r.则S△IPF1=
94、PF1
95、r,S△IPF2=
96、PF2
97、r,S△IF1F2=
98、F1F2
99、r,由S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2得λ
100、F1F2
101、
102、=
103、PF1
104、-
105、PF2
106、=2a,即λ·2c=2a得λ==.3.若点P在曲线C1:-=1上,点Q在曲线C2:(
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