2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.2.1 抛物线及其标准方程训练案 北师大版选修2-1

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1、3.2.1抛物线及其标准方程[A.基础达标]1．已知点P为抛物线y2＝2px上任一点，F为焦点，则以P为圆心，以

2、PF

3、为半径的圆与准线l(　　)A．相交　　　　　　　　　B．相切C．相离D．位置由F确定解析：选B.圆心P到准线l的距离等于

4、PF

5、，所以相切．2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是6，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)A．12B．8C．6D．4解析：选B.由抛物线定义知：P到焦点的距离等于P到准线的距离，故P到焦点距离＝6－(－2)＝8.3．在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a

6、>b>0)的曲线大致是(　　)解析：选D.a2x2＋b2y2＝1其标准方程为＋＝1，因为a>b>0，所以<，表示焦点在y轴上的椭圆；ax＋by2＝0其标准方程为y2＝－x，表示焦点在x的负半轴的抛物线．4．一个动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点(　　)A．(0，2)B．(0，－2)C．(2，0)D．(4，0)解析：选C.由抛物线定义知圆心到准线x＋2＝0的距离等于到焦点F(2，0)的距离，所以动圆必过定点(2，0)．5．当a为任意实数时，直线(2a＋3)x＋y－4a＋2＝0恒过定点P，则

7、过点P的抛物线的标准方程是(　　)A．x2＝32y或y2＝－xB．x2＝－32y或y2＝xC．y2＝32x或x2＝－yD．y2＝－32x或x2＝y解析：选C.该直线可化为(2x－4)a＋(3x＋y＋2)＝0，令得故该直线恒过定点P(2，－8)，经验证C符合要求．6．准线方程为x＝－1的抛物线的标准方程为________．解析：由题意可设该抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，其准线为x＝－＝－1，得p＝2.故该抛物线的标准方程为y2＝4x.答案：y2＝4x7．已知O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若

8、·＝－4，则点A的坐标是________．解析：因为抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，设A的坐标为(，y0)，则＝(，y0)，＝(1－，－y0)，由·＝－4得y＋12y－64＝0，即y0＝±2，所以点A的坐标为(1，2)或(1，－2)．答案：(1，2)或(1，－2)8．设抛物线y2＝2x的准线为l，P为抛物线上的动点，定点A(2，3)，则

9、AP

10、与点P到准线l的距离之和的最小值为________．解析：设该抛物线的焦点为F，连接AF交抛物线于点P0，由抛物线定义可知P到准线l的距离等于

11、PF

12、，故

13、AP

14、与点P到l距离之和＝

15、

16、AP

17、＋

18、PF

19、≥

20、AP0

21、＋

22、P0F

23、＝

24、AF

25、＝＝.答案：9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点F的距离为5，求m的值、抛物线方程及其准线方程．解：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点F的坐标为.因为M(m，－3)在抛物线上，且

26、MF

27、＝5，故解得所以所求的抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2.10．一辆卡车高3m，宽1.6m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍，若拱宽为am，求能使卡车通过的a的最小整数值．解：以拱顶为原点，拱高

28、所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则点B的坐标为(，－)，由点B在抛物线上，所以()2＝－2p·(－)，p＝，所以抛物线方程为x2＝－ay.将点E(0.8，y)代入抛物线方程，得y＝－.所以点E到拱底AB的距离为－

29、y

30、＝－>3.解得a>12.21，因为a取整数，所以a的最小整数值为13.[B.能力提升]1．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，

31、AF

32、＝x0，则x0＝(　　)A．4B．2C．1D．8解析：选C.如图，F(，0)，过A作AA′⊥准线l，所以

33、

34、AF

35、＝

36、AA′

37、，所以x0＝x0＋＝x0＋，所以x0＝1.2．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为(　　)A.πB.πC．(6－2)πD.π解析：选A.因为∠AOB＝90°，所以点O在圆C上．设直线2x＋y－4＝0与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线2x＋y－4＝0的距离，所以点C在以O为焦点，以直线2x＋y－4＝0为准线的抛物线上，所以当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为

38、OD

39、.又

40、OD

41、＝＝，所以圆C的最小半径为，所以圆

42、C面积的最小值为π()2＝π.3．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过点P作直线l的垂线PM，垂足为M，已知△PFM为等边三角形，则△PFM的面积为________．解析：设l与x轴交于点A，则

43、AF

44、＝p，因为∠AFM