渝皖琼2018-2019学年高中数学第一章立体几何初步6.2垂直关系的性质学案北师大版必修2

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1、6．2　垂直关系的性质学习目标　1.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理.2.能运用性质定理解决一些简单问题.3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系．知识点一　直线与平面垂直的性质定理思考　在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆．一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？答案　平行．梳理　性质定理文字语言如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行符号语言⇒a∥b图形语言知识点二　平面与平面垂直的性质思考　黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？答案　容易发现墙壁与墙壁

2、所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直．梳理　性质定理文字语言如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面符号语言α⊥β，α∩β＝l，aα，a⊥l⇒a⊥β图形语言1．若平面α⊥平面β，任取直线lα，则必有l⊥β.(　×　)2．已知两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．(　×　)类型一　线面垂直的性质及应用例1　如图所示，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.考点　直线与平面垂直的性质题

3、点　应用线面垂直的性质定理判定线线平行证明　如图，连接AB1，B1C，BD，B1D1.∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.反思与感悟　证明线线平行的常用方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点．(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线．(3)利用线面平行的性质定理：把

4、证线线平行转化为证线面平行．(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．跟踪训练1　如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，aα，a⊥AB.求证：a∥l.考点　直线与平面垂直的性质题点　应用线面垂直的性质定理判定线线平行证明　∵PA⊥α，lα，∴PA⊥l.同理PB⊥l.∵PA∩PB＝P，∴l⊥平面PAB.又∵PA⊥α，aα，∴PA⊥a.∵a⊥AB，PA∩AB＝A，∴a⊥平面PAB.∴a∥l.类型二　面面垂直的性质及应用例2　如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平

5、面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.考点　平面与平面垂直的性质题点　应用面面垂直的性质定理判定线线垂直证明　如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD平面PAB.∴AD⊥平面PBC.又BC平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC，又∵PA∩AD＝A，PA，AD平面PAB，∴BC⊥平面PAB.又AB平面PAB，∴BC⊥AB.反思与感悟　证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定

6、理．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．跟踪训练2　如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为边AD的中点．求证：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB.考点　平面与平面垂直的性质题点　应用面面垂直的性质定理判定线面垂直证明　(1)∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，又G为AD的中点，∴BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面

7、PAD∩平面ABCD＝AD，BG平面ABCD，∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PBG，又PB平面PBG，∴AD⊥PB.类型三　垂直关系的综合应用命题角度1　线线、线面、面面垂直的转化例3　如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.考点　垂直问题的综合应用题点　线线、