14、<5.3.已知△ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是 ( )A.2B.6C.4D.12【解析】选C.由于△ABC的周长与焦点有关,设另一焦点为F,利用椭圆的定义,
15、BA
16、+
17、BF
18、=2,
19、CA
20、+
21、CF
22、=2,便可求得△ABC的周长为4.4.“m>0且n>0”是“方程mx2+ny2=1表示椭圆”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【解析】选B.当m=n>0时方程mx2+ny2=1表示圆,故m
23、>0且n>0⇒/方程mx2+ny2=1表示椭圆,而方程mx2+ny2=1表示椭圆⇒m>0且n>0.5.若椭圆+=1的焦距为6,则m的值为 ( )A.7B.7或25C.25D.或5【解析】选B.①设a2=16,b2=m,所以c2=16-m,所以16-m=9,所以m=7;②设a2=m,b2=16,则c2=m-16,所以m-16=9,所以m=25.6.设F1,F2是椭圆C:+=1的焦点,在曲线C上满足·=0的点P的个数为 ( )A.0B.2C.3D.4【解析】选B.因为·=0,所以PF1⊥PF2,所以点P即为以线段F
24、1F2为直径的圆与椭圆的交点,且半径为c==2.又因为b=2,所以点P为该椭圆与y轴的两个端点.7.已知P为椭圆C上一点,F1,F2为椭圆的焦点,且
25、F1F2
26、=2,若
27、PF1
28、与
29、PF2
30、的等差中项为
31、F1F2
32、,则椭圆C的标准方程为( )A.+=1B.+=1或+=1C.+=1D.+=1或+=1【解析】选B.由已知2c=
33、F1F2
34、=2,所以c=.因为2a=
35、PF1
36、+
37、PF2
38、=2
39、F1F2
40、=4,所以a=2,所以b2=a2-c2=9.故椭圆C的标准方程是+=1或+=1.8.已知椭圆+y2=1的焦点为F1,F
41、2,点M在该椭圆上,且·=0,则点M到x轴的距离为 ( )A.B.C.D.【解析】选C.由·=0,得MF1⊥MF2,可设=m,=n,在△F1MF2中,由m2+n2=4c2得(m+n)2-2mn=4c2,根据椭圆的定义有m+n=2a,所以2mn=4a2-4c2,所以mn=2b2,即mn=2,所以=mn=1.设点M到x轴的距离为h,则:×
42、F1F2
43、×h=1,又
44、F1F2
45、=2,所以h=.二、填空题(每小题5分,共10分)9.已知椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为2,则此椭圆的标准方程为__
46、______.【解析】由已知,2a=8,2c=2,所以a=4,c=,所以b2=a2-c2=16-15=1,所以椭圆的标准方程为+x2=1.答案:+x2=110.(xx·衡水高二检测)已知P是椭圆+=1上的一动点,F1,F2是椭圆的左、右焦点,延长F1P到Q,使得
47、PQ
48、=
49、PF2
50、,那么动点Q的轨迹方程是________.【解析】依题意,
51、PF1
52、+
53、PF2
54、=2a(a是常数且a>0).又
55、PQ
56、=
57、PF2
58、,所以
59、PF1
60、+
61、PQ
62、=2a,即
63、QF1
64、=2a.由题意知,a=2,b=,c===1.所以
65、QF1
66、=4
67、,F1(-1,0),所以动点Q的轨迹是以F1为圆心,4为半径的圆,所以动点Q的轨迹方程是(x+1)2+y2=16.答案:(x+1)2+y2=16三、解答题11.(10分)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点.设椭圆C上一点到两焦点F1,F2的距离和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标.【解析】由点在椭圆上,得+=1,又2a=4,所以椭圆C的方程为+=1,焦点坐标分别为(-1,0),(1,0).【能力挑战题】设F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,点P为椭圆上一点,已知F1,F2,P为一个直角三角形的
68、三个顶点,且
69、PF1
70、>
71、PF2
72、,求的值.【解析】由已知
73、PF1
74、+
75、PF2
76、=6,
77、F1F2
78、=2,根据直角的位置不同,分为两种情况.(1)若∠PF2F1为直角,则所以所以=.(2)若∠F1PF2为直角,则
79、F1F2
80、2=
81、PF1
82、2+
83、PF2
84、2,所以解得
85、PF1
86、=4,
87、PF2
88、=2,所以=2.综上,的值为或2.
