2018-2019版高中数学第二章随机变量及其分布2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.1离散型随机变量的均值学案新人教A版选修2

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1、2.3.1　离散型随机变量的均值学习目标　1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.理解离散型随机变量均值的性质.3.掌握两点分布、二项分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题．知识点一　离散型随机变量的均值设有12个西瓜，其中4个重5kg,3个重6kg,5个重7kg.思考1　任取1个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试问X可以取哪些值？答案　X＝5,6,7.思考2　X取上述值时，对应的概率分别是多少？答案　P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝，P(X＝7)＝.思考3　如何求每个西瓜的平均

2、重量？答案　＝5×＋6×＋7×＝.梳理　(1)离散型随机变量的均值若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)均值的性质若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，①Y也是随机变量；②E(aX＋b)＝aE(X)＋b.知识点二　两点分布、二项分布的均值1．两点分布：若X服从两点分布，则E(X)＝p.2．二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝np.1．随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化．(　

3、×　)2．随机变量的均值与样本的平均值相同．(　×　)3．若随机变量X的均值E(X)＝2，则E(2X)＝4.(　√　)类型一　离散型随机变量的均值例1　袋中有4个红球，3个白球，从袋中随机取出4个球．设取出一个红球得2分，取出一个白球得1分，试求得分X的均值．考点　离散型随机变量的均值的概念与计算题点　离散型随机变量均值的计算解　X的所有可能取值为5,6,7,8.X＝5时，表示取出1个红球3个白球，此时P(X＝5)＝＝；X＝6时，表示取出2个红球2个白球，此时P(X＝6)＝＝；X＝7时，表示取出3个红球1个白球，此时P(X＝7)＝＝；X＝8时，表示取出4个红球，此时P(X

4、＝8)＝＝.所以X的分布列为X5678P所以E(X)＝5×＋6×＋7×＋8×＝.反思与感悟　求随机变量X的均值的方法和步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值．(2)求出X取每个值的概率P(X＝k)．(3)写出X的分布列．(4)利用均值的定义求E(X)．跟踪训练1　现有一个项目，对该项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元，1.18万元，1.17万元的概率分别为，，，随机变量X表示对此项目投资10万元一年后的利润，则X的均值为(　　)A．1.18B．3.55C．1.23D．2.38考点　离散型随机变量的均值的概念与计算题点　离散型随机变量均值的计算答案　A解

5、析　因为X的所有可能取值为1.2,1.18,1.17，P(X＝1.2)＝，P(X＝1.18)＝，P(X＝1.17)＝，所以X的分布列为X1.21.181.17P所以E(X)＝1.2×＋1.18×＋1.17×＝1.18.例2　(1)设X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p等于(　　)A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4(2)一次单元测试由20个选择题组成，每个选择题有4个选项，其中仅有1个选项正确，每题选对得5分，不选或选错不得分．一学生选对任意一题的概率为0.9，则该学生在这次测试中成绩的均值为________．考点　二项分布、两点分布的均值题点　二项分布的均值答

6、案　(1)D　(2)90解析　(1)∵E(X)＝16，∴40p＝16，∴p＝0.4.故选D.(2)设该学生在这次测试中选对的题数为X，该学生在这次测试中成绩为Y，则X～B(20,0.9)，Y＝5X.由二项分布的均值公式得E(X)＝20×0.9＝18.由随机变量均值的性质得E(Y)＝E(5X)＝5×18＝90.反思与感悟　(1)常见的两种分布的均值设p为一次试验中成功的概率，则①两点分布E(X)＝p；②二项分布E(X)＝np.熟练应用上述两公式可大大减少运算量，提高解题速度．(2)两点分布与二项分布辨析①相同点：一次试验中要么发生要么不发生．②不同点：a．随机变量的取值不同

7、，两点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值X＝0,1,2，…，n.b．试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验．跟踪训练2　根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的均值．考点　二项分布、两点分布的均值题点　二项分布的均值解　设该车主购买乙种保险的概率为p，由题意知p×(1－0.5