高中数学第二章随机变量及其分布2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.1离散型随机变量的均值课堂导学案新人教a版选修2

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1、2.3.1　离散型随机变量的均值课堂导学三点剖析一、离散型随机变量均值的求法【例1】从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数.（1）求X的分布列；（2）求X的均值；（3）求“所选3人中女生人数X≤1”的概率.解析：（1）X可能取的值为0，1，2.P（X=k)=,k=0,1,2.所以，X的分布列为：X012P（2）由（1），X的均值为EX=0×+1×+2×=1.（3）由（1），“所选3人中女生人数X≤1”的概率为P（X≤1)=P(x=0)+P(X=1)=温馨提示做这类的题目，首先要确定随机变量的分布列，然后再去求它的均值.二、离散型

2、随机变量的均值的应用【例2】A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，A队队员是A1,A2,A3，B队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：对阵队员A队队员的胜率B队队员的胜率A1对B1A2对B2A3对B3现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A，B两队最后所得总分分别为ξ，η.（1）求ξ，η的概率分布；（2）求两队各自获胜的期望.解析：（1）ξ，η的可能取值分别为3，2，1，0，ξ=3表示三场A队全胜，P（ξ=3）=··=，ξ=2表示三场中A队胜两场，有三种可能.∴P（ξ=2）=··(1-)+(1-)·+(1-)··=.ξ=1表

3、示三场中A队胜一场，也有三种可能：P（ξ=1）=··+··+··=，ξ=0表示三场A队全负.P（ξ=0）=··=.依题意可知：ξ+η=3，∴P（η=0）=P（ξ=3）=，P(η=1）=P（ξ=2）=，P（η=2）=P（ξ=1）=，P（η=3）=P（ξ=0）=；（2）Eξ=3×+2×+1×+0×=.∵ξ+η=3.∴Eη=3-Eξ=.故甲队获胜的期望是，乙队获胜的期望是.三、与其他知识的交汇题【例3】某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数

4、之差的绝对值.(Ⅰ)求ξ的分布及数学期望；(Ⅱ)记“函数f(x)=x2-3ξx+1在区间［2，+∞)上单调递增”为事件A，求事件A的概率.解析：（Ⅰ）ξ的分布列为ξ13P0.760.24Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48.（Ⅱ）因为f(x)=(x-ξ)2+1-ξ2，所以函数f(x)=x2-3ξx+1在区间［ξ，+∞)上单调递增，要使f(x)在［2,+∞)上单调递增，当且仅当32ξ≤2，即ξ≤.从而P（A）=P(ξ≤)=P(ξ=1)=0.76.温馨提示该题考查概率的分布列、期望、随机变量ξ在某一范围内的概率，考查函数的单调性.但是它并没有直接给出ξ的范围，而是通过

5、函数的单调性间接地给出ξ的范围，把函数的单调性和概率结合起来了.各个击破【类题演练1】若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为，乙解出该题的概率为，设解出该题的人数为ξ，求Eξ.解析：记“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B.ξ可能取值为0，1，2，P（ξ=0）=P（）P（）=(1-)(1-)=；P（ξ=1）=P（A）+P（B）=P（A）P（）+P（）P（B）=(1-)×+(1-)=；P（ξ=2）=P（A）P（B）=×=.所以ξ的分布列为：Ξ012P故Eξ=0×+1×+2×≈1.467.【变式提升1】已知随机变量X的概率分布列为：P（X=k)=

6、qk-1p(k=1,2,…,0＜p＜1,q=1-p),求证：EX=.证明：∵P（X=k)=qk-1p,∵EX=1×p+2×qp+3q2p+…+kqk-1p+…=p(1+2q+3q2+…+kqk-1+…)令S=1+2q+3q2+…+kqk-1+(k+1)qk+…①Sq=q+2q2+3q3+…+kqk+(k+1)qk+1+…②①-②得：S-Sq=1+q+q2+…+qk+…即S（1-q)=∵S=∴EX=pS=p×=【类题演练2】某儿童商品专卖商场统计资料表明，每年六一国际儿童节商场内促销活动可获得经济效益2.5万元，商场外的促销活动如不遇雨天可获得经济效益12万元.若促销活动

7、遇到雨天则带来5万元的经济损失.5月30日气象台预报六一儿童节当天有雨的概率是40%，问商场应该采取哪种促销方式？解析：设该商场六一儿童节在商场外的促销活动获得的经济效益为ξ万元，则由天气预报知P（ξ=12）=0.6，P（ξ=-5）=0.4，∴Eξ=12×0.6+(-5)×0.4=5.2(万元).即在六一儿童节当地有雨的概率是40%的情况下，在商场外的促销活动的经济效益的期望是5.2万元，超过在商场内促销活动可获得的经济效益2.5万元.故商场应选择商场外的促销活动.【变式提升2】某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀