沪科版2019秋九年级数学上册专题 7.模型构建专题：相似三角形的基本模型的构建

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1、模型构建专题：相似三角形的基本模型的构建——熟知需要用相似来解决的图形　　　　　　　　　　　　　　　　类型一　“A”字型1．(盘锦中考)如图，已知△ABC中，AB＝5，AC＝3，点D在边AB上，且∠ACD＝∠B，则线段AD的长为．第1题图　　　　第2题图2．(佛山中考)如图，在Rt△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AC＝10.四边形BDEF是△ABC的内接正方形(点D、E、F在△ABC的边上)．则此正方形的面积是.3．如图①，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明＋＝成立，若将图①中的垂直改

2、为斜交，如图②，AB∥CD，AD与BC交于点E，过点E作EF∥AB交BD于F，则＋＝还成立吗？如果成立，给出证明；如果不成立，请说明理由．类型二　“X”字型4．如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O，AO∶DO＝1∶2，那么下列式子正确的是（）A．BO∶BC＝1∶2B．CD∶AB＝2∶1C．CO∶BC＝1∶2D．AD∶DO＝3∶1第4题图　　　　　第5题图5．(安顺中考)如图，▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．3∶2B．3∶1C．1∶1D．1∶2类型三　旋转型6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，

3、∠A＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，点B′在AB上，A′B′交AC于F，则图中与△AB′F相似的三角形有(不再添加其他线段)（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE.(1)写出图中两对相似三角形(不得添加字母和线)；(2)请分别说明两对三角形相似的理由．类型四　垂直型8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有【方法12】（）A．1对B．2对C．3对D．4对第8题图　　　　　第9题图9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝

4、90°，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个角(∠A、∠B)向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，若AD＝3，BC＝5，则EF的长是（）A.B．2C.D．210．如图，矩形ABCD中，M是BC边上且与B、C不重合的点，点P是射线AM上的点，若以A、P、D为顶点的三角形与△ABM相似，则这样的点有个．第10题图　　　　第11题图11．★(宿迁中考)如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0，4)，直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于点A、B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为．类型五　一线三等角型12．(蜀山区月考)如图，AB⊥BD

5、，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，则AB的长为【方法12】（）A．2B．3C．4D．513．(嘉定区期末)如图，△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA＝BC，DA＝DE，如果点D在边BC上，且∠EDC＝∠BAD，点O为AC与DE的交点．(1)求证：△ABC∽△ADE；(2)求证：DA·OC＝OD·CE.14．★如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P为BC边上一点(不与B，C重合)，过点P作∠APE＝∠B，PE交CD于E.(1)求证：△APB∽△PEC；(2)若CE＝3，求BP的长．参

6、考答案：1.2．25　解析：在Rt△ABC中，AB2＋BC2＝AC2.∵AB＝BC，AC＝10，∴2AB2＝200，∴AB＝BC＝10.设EF＝x，则AF＝10－x.∵EF∥BC，∴△AFE∽△ABC，∴＝，即＝，∴x＝5，∴EF＝5，∴此正方形的面积为5×5＝25.3．解：成立．证明如下：∵AB∥EF∥CD，∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，∴＝，＝，两式相加得＋＝＋＝＝＝1，等式两边同除以EF得＋＝.4．B　5.D　6.D7．解：(1)△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE；(2)①△ABC∽△ADE.理由如下：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠B

7、AD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE.又∵∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE；②△ABD∽△ACE.理由如下：∵△ABC∽△ADE，∴＝，∴＝.又∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE.8．C9．A　解析：∵AD∥BC，∴∠ADF＋∠FCB＝180°.根据折叠前后的图形全等得到DF＝DA＝3，∠ADE＝∠FDE，CF＝CB＝5，∠BCE＝∠FCE，∠EFC＝∠B＝90°，∴∠FDE＋∠FCE＝90°，∠FCE＋∠FEC＝90°，∠DFE＝∠EFC＝90°，∴∠FDE＝∠FEC，∴△DEF∽△ECF，∴＝，∴EF2＝DF·C

8、F＝3×5＝15，∴EF＝.故选A.10．2　解析：∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∴∠